20 November 2009

1. Fungsi Gelombang (pandangan kuantum)

By Dedy Kurniawan Setyoko

Akhirnya, setelah berlama-lama tertunda peluncurannya, selain karena materi yang cukup sulit (bagi saya)  tetapi juga karena banyak yang harus diperbaiki, banyak rumus-rumus fisika yang harus di transformasi ke dalam blog ini menggunakan Latex. Nah, kali ini adalah artikel mengenai fungsi gelombang yang dilihat dari kaca mata kuantum, tapi memang belum begitu sempurna dan membutuhkan uluran tangan dari para pembaca sekalian untuk perbaikannya.  Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua, khususnya bagi para mahasiswa jurusan fisika yang sedang mengambil mata kuliah Fisika Kuantum. Pendek kata dari saya, selamat membaca!

1.  FUNGSI GELOMBANG (PANDANGAN KUANTUM)

1.1 Persamaan Shroedinger

Bayangkan sebuah partikel dengan massa m, dipaksa untuk bergerak sepanjang sumbu-x, dikenai oleh sebuah gaya   F(x,t) (Gambar 1.1). Biasanya yang dilakukan oleh mekanika klasik adalah menghitung posisi dari partikel pada sembarang waktu : x(t) . Dengan mendapatkan fungsi posisi, kita dapat menemukan kecepatan ( v = dx / dt ), momentum (p=mv ), energi kinetik (T=(1/2)mv^{2} ), atau variabel-variabel dinamis lainnya yang kita suka. Dan bagaimana kita bisa menghitung x(t) ? Kita terapkan Hukum Newton kedua:  F=ma . (untuk sistem yang konservatif-satu-satunya hal yang perlu kita pertimbangkan, dan untungnya hanya terjadi pada level mikroskopik-gaya dapat diekspresikan dalam bentuk derivatif dari fungsi energi potensial[1], F=-\partial V / \partial x , dan hukum Newton kedua menjadi m d^{2} x / dt^{2} = - \partial V / \partial x .) Ini, keduanya merupakan kondisi awal yang tepat (biasanya posisi dan kecepatan pada t=0 ), ditulis dengan x(t) .

Pendekatan mekanika kuantum pada masalah yang sama tersebut sungguh sangat berbeda. Pada kasus ini, apa yang kita lihat  adalah fungsi gelombang \Psi (x,t) ,  dari partikel, dan kita mendapatkannya dengan menyelesaikan persamaan Schroedinger :

(1.1)

 

i \hbar \frac{ \partial \Psi }{ \partial t} = - \frac{ \hbar ^{2}}{2m} \frac{ \partial ^{2} \Psi }{ \partial t^{2}} + V \Psi

Gambar 1.1: Sebuah Partikel yang dipaksa bergerak dalam satu dimensi dibawah pengaruh suatu gaya

Di mana i adalah akar dari -1, dan \hbar adalah konstanta Planck-atau sebaiknya, konstanta aslinya (h ) yang dibagi dengan 2π:

(1.2)

i \hbar \frac{ \partial \Psi }{ \partial t} = - \frac{ \hbar ^{2}}{2m} \frac{ \partial ^{2} \Psi }{ \partial t^{2}} + V \Psi

 

persamaan Schroedinger memainkan peranan penting yang secara logika dapat dianalogikan dengan hukum Newton kedua: menentukan kondisi awal yang sesuai [biasanya, \Psi (x,0) ], persamaan Shroedinger ditulis  \Psi (x,t) untuk setiap waktu yang akan datang, sama seperti dalam mekanika klasik, hukum Newton ditulis  x (t) untuk setiap waktu yang akan datang.

1.2  Interpretasi Statistik

Tetapi apakah sebenarnya “fungsi gelombang”, dan apakah yang harus kamu lakukan setelah kamu mendapatkannya? Baiklah, partikel, dengan sendirinya, terlokalisasi pada suatu titik, tetapi fungsi gelombang (seperti yang disebutkan namanya) tersebar pada suatu ruang (pada fungsi x, untuk setiap waktu). Bagaimana sebuah objek dapat dikatakan untuk menjelaskan keadaan dari sebuah partikel? Jawabannya adalah disajikan oleh interpretasi statistik Born dari suatu fungsi gelombang, di mana dikatakan bahwa  \left | \Psi (x,t) \right |^{2} adalah probabilitas untuk menemukan pertikel pada titik x, pada sutu waktu t, atau lebih tepatnya[2]:

(1.3)

\left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx = \begin{Bmatrix} probablilitas \, untuk \, menemukan \, partikel\\ di \, antara \, x \, dan \, \{x + dx \} \, pada \, waktu \, t \end{Bmatrix}

Untuk fungsi gelombang pada gambar 1.2, kemungkinan besar ditemukan partikel di sekitar titik A, dan relatif tidak mungkin untuk menemukan partikel di sekitar titik B.

Gambar 1.2: Bentuk fungsi gelombang. Partikel kemugnkinan besar ditemukan di sekitar titik A, dan kemungkinan paling kecil ditemukan di sekitar titik B. Area terarsir merepresentasikan kemungkikan ditemukannya partkel pada jangkuan dx.

Interpretasi statistik memperkenalkan istilah ketidakpastian dalam mekanika kuantum, bahkan jika kita telah mengetahui semua teori mengenai partikel (tentunya juga fungsi gelombang), kita tidak bisa memprediksi dengan tepat hasil dari percobaan sederhana untuk mengukur posisinya, semua mekanika kuantum menyarankan informasi statistik tentang hasil yang paling mungkin. Ketidakpastian ini telah menganggu bagi para fisikawan dan filosof. Ini keanehan alam, kekurangan teori, kesalahan dalam pengukuran aparatus, atau apa?

Andaikan saya mengukur posisi dari partikel, dan saya menemukannya pada titik C. Pertanyaanya: Di manakan partikel tersebut sesaat sebelum saya melakukan pengukuran? Ada tiga kemungkina jawaban untuk pertanyaan ini, dan masing-masing merupakan karakter pemikiran mengenai ketidakpastian kuantum:

  1. Posisi realist: Partikel telah berada di C. Kepastian ini kelihatan seperti jawaban yang bijaksana, dan ini merupakan salah satu anjuran dari Einstein. Ingat, bagimanapun juga, jika ini adalah jawan yang benar, maka mekanika kuantum adalah teori yang belum lengkap, selama partikel benar-benar berada di C, dan sebelumnya mekanika kuantum memang tidak sanggup untuk mengatakan demikian. Bagi realist, ketidakpastian ini bukan berasal dari keanehan alam, tetapi merupakan pencerminan dari ketidaktahuan kita. Seperrti d’Espagnat katakan, “posisi partikel tidak pernah tidak pasti (pasti), tetapi merupakan ketidaktahuan dari peneliti.”[3] Dengan jelas Ψ adalah bukan penyebab utama, beberapa tambahan informasi (diketahui dengan istilah variabel tersembunyi) dibutuhkan untuk memberikan deskripsi yang lengkap mengenai partikel.
  2. Posisi orthodox: Partikel tidak berada di mana-mana. Merupakan kenyataan bahwa pengukuran yang memaksa partikel untuk “berada” (bagimana dan mengapa partikel tersbut berada di titik C tidak dipertanyakan). Jordan mengatakannya secara tepat: ”Pengamatan tdak hanya mengganggu apa yang akan diukur, tetapi juga menciptakannya . . kita memaksa [partikel] untuk mengasumsikan posisi yang pasti.”[4] Pandangan ini (yang kemudian dikenal dengan istilah interpretasi copenhagen) yang merupakan kolega dari Bohr dan para pengikutnya. Di antara para fisikawan, ini adalah posisi yang paling dapat diterima. Ingat, bagaimanapun juga, bahwa jika ini benar, maka terdapat sesuatu yang ganjil mengenai kenyataan pengukuran, debat yang telah dilakukan lenih dari setengah abad, memberikan penjelasan yang sedikit berharga.
  3. Posisi agnostic: menolak untuk menjawab. Ini tidak sekonyol seperti setelah apa yang kita dengar. Setelah semuanya—pertimbangan apa yang bisa kita gunakan sebelum melakukan pengukuran, ketika satu-satunya jalan untuk mengetahui apakah benar dan tepat apa yang dilakukan dalam melakukan pengukuran, dalam hal apa yang kamu dapat sebelum melakukan pengukuran? Ini adalah metafisika (dalam arti kata lain) untuk mengkawatirkan tentang sesuatu yang tidak dapat di uji coba. Pauli berkata, “Orang tidak harus memeras otak untuk memikirkan masalah yang tidak dapat diketahui mengenai keberadaannya, kemudian mengenai pertanyaan kuno, berapa banyak malaikat yang dapat duduk diatas jarum”[5]. Selama beberapa dekade ini menjadi posisi “fall-back” dari kebanyakan fisikawan: mereka mencoba untuk memberikan jawaban no. 2, tetapi jika mereka ditanya secara terus-menerus, mereka akan beralih ke no.3 dan akhirnya mengakhiri percakapan.

Sampai akhir-akhir ini, semua jawaban (realist, ortodox, dan agnostic) memiliki banyak pengikut. Tetapi pada 1964, John Bell mengejutkan dunia fisika dengan menunujukkan bahwa itu akan membuat pengamatan yang berbeda jika partikel memiliki posisi yang tepat (meskipun tidak diketahui) sebelum dilakukan pengukuran. Penemuan Bell ini menghilangkan agnositisme (doktrin) dalam menentukan pilihan, dan membuat percobaan pertanyaan apakah jawaban no. 1 atau 2 yang paling tepat.  Kita akan mengetahui cerita ini di lain waktu, dan kita akan bisa menghargai bahwa teorema Bell adalah yang paling tepat, dan untuk sekarang cukuplah untuk mengatakan eksperimen tersebut telah mengkonfirmasi interpretasi ortodox[6] secara tegas: sebuah partikel tidak memiliki posisi yang tepat sebelum pengukuran dan kebanyakan berada disekitar lengkungan, ini adalah proses pengukuran yang menekankan pada suatu angka tertentu, dan dengan demikian akan menciptakan hasil yang spesifik, terbatas hanya pada pembobotan statistik yang dikenakan oleh fungsi gelombang.

 

Gambar 1.3: pengerucutan fungsi gelombang: grafik dari  segera setelah pengukuran menemukan partikel di titik C.

Tetapi bagimana jika dilakukan pengukuran kedua, segera setelah pengukuran yang pertama? Apakah akan didapatkan nilai C lagi, atau apakah didapatkan nilai baru pada setiap pengukuran berikutnya?Pada pertnyaan ini semua fisikawan setuju pada pernyataan ini: pengulangan pengukuran (pada partikel yang sama) harus dikembalikan pada kondisi semula. Memang, akan sulit untuk membuktikan bahwa partikel benar-benar berada di titik C pada contoh yang pertama jika hal ini tidak dapat segera dikonfirmasi dengan pengulangan pengukuran. Bagimana interpretasi ortodox memberikan jawaban untuk fakta bahwa pengukuran kedua adalah terikat pada nilai C? Jelas pengukuran yang pertama secara radikal telah mengubah funsi gelombang, sehingga sekarang berbentuk kerucut yang tajam pada titik C (gambar 1.3). Kita katakan bahwa fungsi gelombang mengerucut setelah dilakukan pengukuran, menjadi bentuk kerucut ditik C (yang segera menyebar lagi, sesuai dengan persamaan Schroedinger, sehingga pengukuran kedua harus segera dilakukan dengan cepat).  Terdapat dua hal dalam proses fisika yang keduanya berbeda: “biasanya”, yang mana fungsi gelombang berevolusi dalam aturan persamaan Scroedinger, dan “pengukuran” yang mana  secara tiba-tiba dan diskontinyu terkerucut.[7]

1.3  Probabilitas

Karena interpretasi statistik, probabilitas memainkan aturan penting dalam mekanika kuantum, maka di sini akan dibahas materi yang sedikit menyimpang dari topik utama, yaitu diskusi singkat mengenai teori probabilitas. Hal ini terutama soal memperkenalkan beberapa notasi dan terminologi, dan kita akan melakukannya dalam konteks contoh sederhana.

Bayangkan sebuah ruangan yang berisi 14 orang yang masing-masing berumur seperti yang disebutkan di bawah:

  • satu orang berumur 14 tahun
  • satu orang berumur 15 tahun
  • tiga orang berumur 16 tahun
  • dua orang berumur 22 tahun
  • dua orang berumur 24 tahun
  • lima orang berumur 25 tahun.

Jika N(j) menggambarkan jumlah orang pada umur j, maka

Gambar 1.4:  Histogram menunujukkan jumlah orang N(j) dengan umur j, untuk contoh pada sesi 1.3.

  • N(14) = 1
  • N(15) = 1
  • N(16) = 3
  • N(22) = 2
  • N(24) = 2
  • N(25) = 5

Di mana N(17), adalah nol. Jumlah total orang yang ada dalam ruangan adalah:

(1.4)

 

N=\sum_{j=0}^{\infty } N(j)

(tentunya, N=14) Gambar 1.4 adalah histogram dari data. Di bawah ini adalah beberapa pertanyaan yang akan mempertanyakan seputar distribusi.

Pertanyaan pertama. Jika kita mengambil secara random satu individu dalam group ini, berapakah probabilitas bahwa orang ini berumur 15 tahun? Jawaban: satu peluang dalam 14, jadi terdapat 14 kemungkinan pilihan. Jika P(j) adalah probabilitas untuk mendapatkan umur j, maka P(14) = 1/14, P(15) = 1/14, P(16) = 3/14, dan seterusnya. Dapat ditulis,

(1.5)

 

P(j) = \frac{N(j)}{N}

Ingat bahwa probabilitas untuk mendapatkan 14 dan 15 adalah jumlah dari probabilitas masing-masing (yaitu, 1/7). Dengan kata lain, jumlah total dari probabilitas masing-masing umur adalah 1:

(1.6)

 

\sum_{j=1}^{\infty } P(j) = 1

Pertanyaan kedua. Berapkah probabilitas umur yang paling besar? Jawab: 25, karena terdapat 5 orang dalam kelompok umur ini, sedangkan pada umur yang lain tidak lebih besar dari 3 orang. Dengan kata lain, probabilitas j paling besar adalah j yang memiliki P(j) maksimum.

Pertanyaan ketiga. Berapakah mediannya? Jawab: 23, di mana 7 orang berumur lebih muda, dan 7 orang lainnya lebih tua. (dengan kata lain, median adalah nilai dari j yang probabilitas mendapatkan umur yang lebih besar sama dengan probabilitas mendapatkan umur yang lebih kecil.)

Pertanyaan keempat. Berapakah rata-ratanya (mean)? Jawab:

\frac{(14) + (15) + 3(16) + 2(22) + 2(24) + 5(26)}{14} = \frac{294}{14} = 21

Dengan kata lain, nilai rata-rata dari j (yang lebih sering ditulis dengan : \left \langle j \right \rangle ) diberikan oleh

(1.7)

 

\left \langle j \right \rangle =\frac{\sum jN(j)}{N} = \sum_{j=0}^{\infty} jP(j)

Ingat bahwa tidak ada seorangpun yang memiliki umur pada mean atau median, pada contoh ini, tak ada seorangpun yang berumur 21 atau 23. Pada mekanika kuantum, rata-rata biasanya adalah kuantitas penting, dalam konteks dapat dinamakan dengan nilai ekspektasi. Ini adalah bentuk yang dapat menyesatkan kita, yang dapat diartikan bahwa ini adalah hasil yang paling mungkin didapatkan dalam pengukuran tunggal (bahwa probabilitas terbesar bukan berarti nilai rata-rata), tetapi saya kuatir kita akan terjebak dengan istilah ini.

Pertanyaan kelima. Berapakah rata-rata kuadaratnya? Jawab: kita mendapatkan 142 = 196, dengan probabilitas 1/14, atau 152=225 dengan probabilitas 1/14, atau 162 = 256 dengan parobabilitas 3/14, dan seterusnya. Rata-ratanya, kemudian adalah

(1.8)

 

\left \langle j^{2} \right \rangle = \sum_{j=0}^{\infty} j^{2} P(j)

Dengan kata lain, nilai rata-rata dari beberapa fungsi j adalah diberikan oleh

(1.9)

 

\left \langle f(j) \right \rangle = \sum_{j=0}^{\infty} f(j) P(j)

(Persamaan 1.6, 1.7, dan 1.8 adalah, jika kamu perhatikan merupakan kasus khusus dari formula ini). Hati-hati: rata-rata dari kuadrat ( \left \langle j^{2} \right \rangle ) adalah tidak sama dengan kuadrat dari rata-rata ( \left \langle j \right \rangle^{2} ). sederhanya, jika sebuah ruangan hanya berisi dua bayi, yang berumur, 1 dan 3 tahun, maka  \left \langle x^{2} \right \rangle = 5 tetapi \left \langle x\right \rangle^{2} = 4 .

Gambar 1.5: Dua buah histogram dengan rata-rata, median, nilai paling mungkin yang sama, tetapi memiliki standar deviasi yang berbeda..

Sekarang, terdapat perbedaan yang sangat mencolok dari dua buah histogram dalam gambar 1.5,  walaupun keduanya memiliki median sama, mean yang sama, probabilitas yang sama, dan elemen angka yang sama pula: yang pertama mengkerucut tajam pada rata-rata, dan yang kedua menyebar dan cenderung datar. (yang pertama mungkin merepresentaskan profil umur siswa di kelas-kelas perkotaan besar, dan kedua pada sekolah-sekolah yang ada di pedesaan.) kita membutukan ukuran jumlahan numerik mengenai “sebaran” distribusi, yang berkaitan dengan rata-rata. Cara yang paling jelas untuk melakukan ini adalah menemukan seberapa jauh seorang individu menyimpang dari rata-rata.

(1.10)

 

\Delta j = j - \left \langle j \right \rangle

Dan menghitung rata-rata dari \Delta j . Permasalahannya adalah, tentunya kita akan mendapatkan hasil nol, karena pengurangan dengan rata rata, dengan sendirinya,  \Delta j bisa positif dan negatif:

\left \langle \Delta j \right \rangle = \sum (j - \left \langle j \right \rangle) P(j) = \sum j P(j) - \left \langle j \right \rangle \sum P(j)\\ = \left \langle j \right \rangle - \left \langle j \right \rangle

(Ingat, bahwa \left \langle j \right \rangle adalah konstanta, dan itu tidak akan berubah dari satu bentuk jumlahan ke bentuk yang lain.) Untuk menghindari permasalahan yang menjengkelkan ini, kita sebaiknya menghitung rata-rata dari nilai absolut dari \Delta j . Tetapi nilai absolut adalah suatu pekerjaan yang tidak menyenangkan, tetapi, kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan mengkuadratkan dulu sebelum menhitung rata-ratanya:

(1.11)

 

\sigma \equiv \left \langle ( \Delta j ) ^{2} \right \rangle

Kuantitas ini dikenal dengan variansi dari distribusi,  \sigma sendiri (akar dari rata-rata kuadrat dari deviasi dari rata-rata – wow!) dinamakan standar deviasi. Yang terakhir adalah pengukuran dari penyebaran \left \langle j \right \rangle .

Terdapat teori sederhana yang menggunakan standar deviasi:

\sigma ^{2} = \left \langle ( \Delta j ) ^{2} \right \rangle = \Sigma ( \Delta j )^{2} P(j) = \Sigma (j - \left \langle j \right \rangle )^{2} P(j)\\ = \Sigma ( j^{2} - 2j \left \langle j \right \rangle + \left \langle j \right \rangle ^{2} ) P(j)\\ = \Sigma j^{2} P(j) - 2 \left \langle j \right \rangle \Sigma j P(j) + \left \langle j \right \rangle ^{2} \Sigma P(j)\\ = \left \langle j ^{2} \right \rangle - 2 \left \langle j \right \rangle \left \langle j \right \rangle + \left \langle j \right \rangle ^{2}

Atau,

(1.12)

 

\Sigma ^{2} = \left \langle j ^{2} \right \rangle - \left \langle j \right \rangle ^{2}

Persamaan 1.12 membuktikan metode perhitungan \sigma yang lebih cepat: hanya dengan menghitung \left \langle j ^{2} \right \rangle dan \left \langle j \right \rangle ^{2} , dan mengurangkannya.  Secara kebetulan, saya ingatkan beberapa saat yang lalu bahwa \left \langle j ^{2} \right \rangle   tidak sama dengan \left \langle j \right \rangle ^{2} . Selama \sigma ^{2} tidak negatif (dari definisi pada persamaa 1.11), persamaan 1.12 secara tidak langsung juga berarti bahwa

(1.13)

 

\left \langle j ^{2} \right \rangle \geq \left \langle j \right \rangle ^{2}

Dan keduanya akan sama hanya jika \sigma = 0 , yang dapat dikatakan untuk distribusi dengan tanpa sebaran (setiap pengukuran menghasilkan nilai yang sama).

Sejauh ini, diasumsikan jika kita hanya berhubungan dengan variabel diskret, yang mamberikan nilai yang pasti (pada contoh ini, j memiliki nilai yang bulat selama hanya menggunakan tahun saja). Tetapi cukup sderhana jika diperluas menjadi distribusi kontinyu. Jika saya mengambil orang secara random di jalan, probabilitas bahwa umurnya adalah 16 tahun, 4 jam, 27 menit, dan 3,3333 detik adalah nol. Satu-satunya hal yang paling mungkin adalah mengatakan probabilitas bahwa usianya terletak dalam interval tertentu, katakanlah diantara 16 tahun, dan 16 tahun lebih satu hari. Jika intervalnya cukup pendek, probabbilitasnya akan proporsonal dengan panjang intervalnya. Misalnya, kemungkinan bahwa umunya diantara 16 dan 16 lebih 2 hari adalah kira-kira 2 kali dari probabilitas umurnya berada diantara 16 dan 16 lebih 1 hari.(kecuali, kalau terjadi kejadian luar biasa, misalkan ledakan kelahiran bayi pada 16 tahun yang lalu pada hari itu, pada kasus ini, kita telah mengambil interval terlalu panjang untuk digunakan. Jika ledakan kelahiran bayi terjadi 6 jam terakhir, sebaiknya kita mengambil interval pada skala detik atau kurang, untuk lebih amanya.Secara teknis, kita berbicara mengenai interval yang sangat kecil.) Dengan demikian

(1.14)

 

\begin{Bmatrix} probablilitas \, bahwa \, individu\, ( \, dipilih \, secara \, acak\, )\\ tersebut \, berada \, pada \, x \, dan \, ( \, x + dx \, ) \end{Bmatrix} = \rho ( x ) dx

Faktor proporsionalitas, \rho (x) , sering dinamakan dengan “probabilitas untuk mendapatkan x,” tetapi ini adalah bahasa yang tidak bagus, bentuk yang lebih baik adalah “ rapat probabilitas.” Probablilitas bahwa x berada diantara a dan b (pada interval terbatas) diberikan oleh integral dari \rho (x) :

(1.15)

P_{ab} = \int_{a}^{b} \rho (x) dx

Dan aturan yang telah dideduksi dari distribusi diskret di wujudkan dalam cara di bawah:

(1.16)

\int_{- \infty}^{+ \infty} \rho x dx = 1

di mana \left \langle x \right \rangle adalah

(1.17)

\left \langle x \right \rangle = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \rho x dx

maka untuk \left \langle f(x) \right \rangle adalah

(1.18)

\left \langle f(x) \right \rangle = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \rho x dx

dengan demikian

(1.19)

\sigma^{2} \equiv \left \langle (\Delta x) ^{2} \right \rangle = \left \langle x^{2} \right \rangle - \left \langle x \right \rangle ^{2}

1.4  Normalisasi

Sekarang Kita kembali ke interpretasi statistik fungsi gelombang (persamaan 1.3), yang dikatakan bahwa \left | \Psi (x,t) \right |^{2} adalah rapat probabilitas dalam menemukan partikel pada titik x dalam waktu t. Dari persamaan 1.16 dikatakan juga bahwa integral \left | \Psi \right |^{2} harus bernilai 1 (yang berarti partikel harus berada pada suatu tempat):

 

(1.20)

\int_{ - \infty}^{ + \infty} \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx = 1

Tanpa ini, interpretasi statistik tidak akan bernilai apa-apa.

Bagaimanapun, hal ini seharunya mengganggu kita: fungsi gelombang dihasilkan dengan menyelesaikan persamaan Schroedinger, tetapi kita tidak dapat menentukan kondisi \Psi tanpa memperhatikan bahwa keduanya konsisten. Sepintas persamaan 1.1 menyatakan bahwa \Psi (x,t) merupakan solusi, begitu juga dengan A \Psi (x,t) , di mana A adalah suatu konstanta kompleks. Apa yang harus kita lakukan kemudian adalah dengan memasukkan faktor pengganda pada persamaan 1.20 untuk meyakinkan bahwa persamaan 1.20 dapat terpenuhi. Proses ini dinamakan dengan normaslisasi fungsi gelombang. Pada beberapa solusi persamaan Shroedinger, batasan integralnya adalah tak terbatas (infinite), pada kasus ini tak ada faktor pengganda yang bisa menghasilkan nilai 1, yang pada akhirnya akan menghasilkan solusi trivial \Psi = 0 . Kelihatan seperti solusi yang tak ternormalisasi yang tak dapat merepresentasikan sebuah partikel, dan ini tidak dapat diterima. Keadan yanng dapat dicapai secara fisis berkaitan dengan solusi “pengintegral-kuadrat” (square-integrable[8]) pada persamaan Schroedinger.

Tetapi tunggu dulu! Andaikan saya telah menormalisasikan fungsi gelombang pada waktu t = 0 , bagaimana saya bisa memastikan kalau itu akan tetap ternormalisasi setelah waktunya berjalan dan  \Psi berubah? (kita tidak bisa tetap menormaslisasikannya, karena A menjadi sebuah fungsi t, dan mkita tidak akan mendapatkan solusi dari persamaan Shroedinger.) Untungnya, persamaan Scroedinger mempunyai sifat yang dapat mempertahankan normalisasi fungsi gelombang. Tanpa keistimewaan ini, persamaan Shroedinger tidak akan cocok dengan interpretasi statistik, dan teori-teori yang telah dijelaskan tadi akan runtuh.maka sebaiknya kita berhenti sejenak dan coba perhatikan bukti ini dengan seksama:

(1.21)

 

\frac{d}{dt} \int_{ - \infty}^{ + \infty} \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx =\int_{ - \infty}^{ + \infty} \frac{\partial}{\partial t} \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx

[Ingat bahwa integral tersebut hanya merupakan fungsi t, maka digunakan turunan total (\frac{d}{dt} ) dalam bentuk yang pertama (bagian kiri tanda =), tetapi integran adalah fungsi x dan juga t, maka digunakan turunan parsial (\frac{\partial}{\partial t} ) pada bentuk kedua (sebelah kanan tanda =)]. Dengan aturan perkalian,

(1.22)

 

\frac{\partial}{\partial t} \left | \Psi \right | ^{2} = \frac{\partial}{\partial t} (\Psi ^{\ast} \Psi) = \Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi ^{\ast}}{\partial t} \Psi

Di mana persamaan Schroedinger tampak seperti di bawah ini

(1.23)

 

\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \frac{\partial ^{2} \Psi}{\partial t ^{2}} - \frac{i}{\hbar} V \Psi

Dan karenanya (dengan menggunakan kompleks konjugat pada persamaan 1.23)

(1.24)

 

\frac{\partial \Psi ^{\ast}}{\partial t} = - \frac{i \hbar}{2m} \frac{\partial ^{2} \Psi ^{\ast}}{\partial t ^{2}} + \frac{i}{\hbar} V \Psi ^{\ast}

Maka

(1.25)

 

\frac{\partial}{\partial t} \left | \Psi \right | ^{2} = \frac{i \hbar}{2m} (\Psi ^{\ast} \frac{\partial ^{2} \Psi}{\partial t ^{2}} + \frac{\partial ^{2} \Psi ^{\ast}}{\partial t ^{2}} \Psi) = \frac{\partial}{\partial x} [ \frac{i \hbar}{2m} (\Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi ^{\ast}}{\partial t} \Psi)]

Integralnya (persamaan 1.21) dapat ditulis secara eksplisit:

(1.26)

 

\frac{d}{dt} \int_{ - \infty}^{ + \infty} \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx = \frac{i \hbar}{2m} (\Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi ^{\ast}}{\partial t} \Psi)

Tetapi \Psi (x,t) pasti bernilai nol, karena batas integralnya adalah (±) tak terbatas, sebaliknya fungsi gelombang tidak akan ternormalisasi, sehingga persamaan 1.26 menjadi

(1.27)

 

\frac{d}{dt} \int_{ - \infty}^{ + \infty} \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx = 0

Dan oleh karena itu, integral pada bagian kiri konstan (tidak bergantung waktu), jika \Psi ternormalisasi pada t=0 , maka akan tetap ternormalisasi pada waktu ke depannya. TERBUKTI

1.5  Momentum

Partikel dengan keadaan \Psi , nilai ekspetasi x adalah

 

(1.28)

i \left \langle x \right \rangle = \int_{ - \infty}^{ + \infty} x \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx

Apakah sebenarnya ini artinya? Ini secara tegas bukan berarti jika kamu mengukur posisi partikel, lagi, lagi, dan lagi, \int_{ - \infty}^{ + \infty} x \left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx adalah rata-rata dari hasil yang kamu peroleh. Kebalikannya, pengukuran pertama (yang tidak tentu) akan mengkerucutkan fungsi gelombang yang menajam pada nilai yang dihasilkan pada pengukuran tersebut, dan pengukuran selanjutnya (jika dilakukan dengan segera) akan menghasilkan nilai yang sama. Pengertian yang lebih baik, \left \langle x \right \rangle adalah rata-rata pengukuran yang dilakukan pada partikel dengan keadaan \Psi , yang berarti kamu harus mengembalikan partikel kepada keadaan awal setelah masing-masing pengukuran, atau dengan cara lain, kamu menyiapkan banyak partikel, yang masing-masing memiliki keadaan \Psi yang sama, dan mengukur posisi masing-masing partikel tersebut: \left \langle x \right \rangle adalah rata-rata dari setiap hasil tersebut.[saya lebih suka menggambarkannya dengan sebarisan botol di atas papan, setiap botol berisi partikel dengan keadaan \Psi yang sama (relatif terhadap pusat botol). Beberapa orang mahasiswa dengan alat ukur berada pada maasing-masing botol, dan pada saat diberi tanda mereka mengukur posisi dari partikel yang ada di botol yang di depannya secara bersamaan. Ketika dibuatan histogram dari hasil pengukuran dengan \left | \Psi \right | ^{2} , dan dihitung rata-ratanya, yang seharusnya sama dengan \left \langle x \right \rangle . (tentunya, kita hanya bisa menggunakan contoh yang berhingga, kita tidak bisa mengharapkan hasil yang sempurna, tetapi lebih banyak botol yang digunakan maka hasil yang didapatkan akan semakin baik)]. Pendek kata, nilai ekspektasi adalah rata-rata dari pengulangan pengukuran pada beberapa sistem yang identik, bukan rata-rata dari pengulangan pengukuran pada sistem yang sama.

Sekarang, dengan berjalannya waktu, \left \langle x \right \rangle akan berubah (karena faktor kebergantungan \Psi terhadap waktu), dan mungkin kita akan tertarik untuk mengetahui seberapa cepat perubahannya. Merujuk pada persamaan 1.25 dan 1.28, kita lihat bahwa[9]

(1.29)

 

\frac{d \left \langle x \right \rangle}{dt} = \int_{ - \infty}^{ + \infty} x \frac{\partial}{\partial t} \left | \Psi \right |^{2} dx = \frac{i \hbar}{2m} \int x \frac{\partial}{\partial t} (\Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi ^{\ast}}{\partial t} \Psi) dx

Ungkapan di atas dapat disederhanakan dengan integral terpisah[10]

(1.30)

 

\frac{d \left \langle x \right \rangle}{dt} = - \frac{i \hbar}{2m} \int ( \Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi ^{\ast}}{\partial t} \Psi ) dx

[saya menggunakan fakta bahwa \partial x / \partial x = 1 .dan mengeluarkannya dari batas integral, \Psi akan bernilai nol pada ±∞.] dengan menerapkan integral terpisah pada bentuk kedua, didapatkan

(1.31)

 

\frac{d \left \langle x \right \rangle}{dt} = - \frac{i \hbar}{2m} \int \Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx

Bagimanakah hasilnya? Ingat bahwa kita berbicara mengenai “kecepatan” dari nilai ekspektasi x, yang mana tidak sama dengan kecepatan dari partikel. Tak ada yang bisa kita tahu lebih jauh untuk menghitung kecepatan partikel, tidak jelas apakah pengertian kecepatan dalam mekanika kuantum. Jika partikel tidak mempunyai posisi yang tepat (pada saat pengukuran), maka kita juga tidak dapat menentukan kecepatan partikel dengan benar. Semua yang dapat kita jawab adalah mengenai probabilitas untuk mendapatkan kuantitas fisis secara terpisah. Akan kita lihat dalam pembahasan selanjutnya bagaimana mengkonstruksi rapat probabilitas untuk kecepatan pada keadaan \Psi , untuk saat ini cukuplah mempostulatkan bahwa nilai ekspektasi dari kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari nilai ekspektasi posisi:

(1.32)

 

\left \langle v \right \rangle = \frac{d \left \langle x \right \rangle}{dt}

Persamaan 1.31 memberitahukan kita bagaimana menghitung \left \langle v \right \rangle secara langsung dari \Psi .

Sebenarnya, biasanya lebih mudah bekerja dengan momentum(p = m v) , dari pada kecepatan:

(1.33)

 

\left \langle p \right \rangle = m \frac{d \left \langle x \right \rangle}{dt} = - i \hbar \int \Psi ^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx

tetapi coba kita ekspresikan \left \langle x \right \rangle dan \left \langle x \right \rangle dengan jalan lain yang lebih sederhana :

(1.34)

 

\left \langle x \right \rangle = \int \Psi ^{\ast} (x) \Psi dx

dan untuk \left \langle P \right \rangle adalah:

(1.35)

 

\left \langle p \right \rangle = \int \Psi ^{\ast} (\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}) \Psi dx

Dapat dikatakan bahwa operator x “merepresentasikan” posisi, dan operator (\hbar/i)(\partial/\partial x) “merepresentasikan” momentum, dalam mekanika kuantum, untuk menghitung nilai ekspektasi, kita menempatkan operator yang tepat diantara \Psi ^{\ast} dan \Psi , kemudian mengintegrasikannya.

Indah bukan? Tetapi bagaimana dengan variabel dinamis yang lain? Faktanya adalah semua kuantitas fisis dapat ditulis dalam bentuk posisi dan momentum. Energi kinetik, misalnya, adalah:

 

T = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2m}

Dan momentum angular adalah

 

L = r \times m v = r \times p

(persamaan yang terakhir, tentunya tidak hanya berdasarkan pada gerak satu dimensi saja). Untuk menghitung nilai ekspektasi kuantitas seperti ini, sederhananya saja dengan mengganti setiap  p dengan (\hbar/i)(\partial/\partial x) , memasukkannya ke dalam \Psi ^{\ast} dan \Psi , kemudian mengintegrasinya:

(1.36)

 

\left \langle Q (x, p) \right \rangle = \int \Psi ^{\ast} Q(x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}) \Psi dx

misalnya

(1.37)

 

\left \langle T \right \rangle = \frac{- \hbar ^{2}}{2m} \int \Psi ^{\ast} \frac{\partial ^{2} \Psi}{\partial x ^{2}} dx

Persamaaan 1.36 adalah perumusan untuk mnghitung nilai ekspektasi untuk semua kuantitas dinamis untuk partikel pada keadaan \Psi yang berasal dari persamaan 1.34 dan 1.35 .

1.6  Prinsip Ketidakpastian

Bayangkan kalau kamu sedang memegang ujung sebuah tali yang sangat panjang, dan kamu membangkitkan gelombang dengan mengguncangnya naik turun secara beraturan (Gambar 1.6). Jika seeorang bertanya kepadamu,”tepatnya, di manakah gelombang itu berada?” Kamu mungkin akan berfikir kalau dia sedikit gila: Gelombangnya tidak tepat berada di suatu tempat, gelombangnya tersebar pada interval 50 kaki, kira-kira begitu jawabannya. Dengan kata lain, jika dia menanyakan berapakah panjang gelombannya, kamu mungkin bisa menjawabnya dengan jawaban yang beralasan: itu sekitar 6 kaki.Tetapi sebaliknya, jika kemu memberikan sentakan yang tiba-tiba pada tali itu (Gambar 1.7), kamu akan mendapatkan sebuah lengkungan sempit yang bergerak merambat pada tali. Kali ini pertanyaannya (tepatnya, di manakah gelombangnya berada?) ini adalah perntanyaan yang logis, dan yang kedua (Berpakah panjang gelombangnya?) kelihatan  sebuah pertanyaan yang aneh, kali ini gelombangnya memiliki periode yang tidak tentu, bagimanakah kamu bisa menentukan panjang gelombangnya?

Gambar 1.6: gelombang dengan (secara wajar) memiliki panjang gelombang yang pasti tetapi posisinya tidak jelas.

Tentunya, kamu dapat menggambarkan gelombang dengan kasus di atara dua gelombang tadi, yang memiliki posisi yang terdefinisi dengan baik dan panjang gelombang yang juga terdefinisi dengan baik, tetapi terdapat harga yang harus dibayar: gelobang yang memilki posisi yang pasti, adalah gelombang yang memiliki panjang gelombang yang tidak pasti, dan vice versa[12]. Teorema analisis Fourier dengan tepat membahas hal ini, tetapi kali ini hanya akan dibahas secara kualitatif.

Penggunaan ini tentunya untuk semua fenomena gelombang, dan juga pada fungsi gelombang mekanika kuantum. Sekarang panjang gelombang \Psi   dihubungkan dengan momentum dari partikel dengan menggunakan formulasi de Broglie[13]:

(1.39)

p = \frac{h}{\lambda} = \frac{2 \pi \hbar}{ \lambda }

Oleh karena itu, penyebaran panjang gelombang berkitan dengan penyebaran momentum, dan secara umum dapat dikatakan bahwa, penentuan posisi yang paling tepat adalah penentuan momentum yang tidak tepat. Secara kuantitatif:

(1.40)

\sigma _{x} \sigma _{p} = \frac{\hbar}{2}

Di mana, \sigma _{x} adalah standar deviasi x, dan \sigma _{p}   adalah standar deviasi p. Ini adalah prinsip ketidakpastian Heissenberg yang terkenal. (penjelasan mengenai ini akan dijeaskan kemudian)

Gambar 1.7: Gelombang dengan posisi yang dapat ditentukan secara pasti tetapi memiliki panjang gelombang yang tidak pasti.

Mohon dimengerti pengertian dari prinsip ketidak pastian: seperti pengukuran posisi, pengukuran momentum menghasilkan jawaban yang tepat, “penyebaran” di sini merujuk pada fakta bahwa pengukuran tersebut pada sistem-sistem yang identik tidak menghasilkan nilai yang konsisten. Kamu bisa, jika kamu mau, siapkan sistem seperti pada pengukuran posisi berulang yang dilakukan sangat cepat antara satu pengukuran dengan yang lain (dengan membuat Ψ yang terlokalisasi dalam “kerucut”), tetapi ada harga yang harus dibayar: Momentum pada pengukuran ini akan sangat lebar penyebarannya. Atau kamu bisa menyiapkan sistem yang bisa menghasilkan momentum (dengan membuat Ψ gelombang sinusoidal panjang), tetapi pada kasus ini pengukuran posisi kan menghasilkan nilai yang penyebarannya sangat lebar. Atau kamu sudah jenuh untuk menyiapkan sistem tersebut dan akhirnya membuat sistem dengan posisi dan momentum yang tidak terdefinisi dengan baik: persamaan 1.40 adalah sebuah ketidaksamaan, dan tidak terdapat batas tentang seberapa besar \sigma _{x} dan \sigma _{p} , hanya dengan membuat Ψ pada tali yang cukup panjang dengan banyak perut dan lembah gelombang dan tanpa struktur periodik.

 

[1] Gaya magnetik adalah pengecualian, tapi jangan dulu dikawatirkan mengenai hal ini. Dengan kata lain, kita sebaiknya mengasumsikannya kali ini bahwa gerakannya adalah non-relativistk (v << c)

 

[2] Fungsi gelombang adalah fungsi kompleks, tetapi \left | \Psi \right | ^{2} = \Psi ^{\ast} \Psi   (dimana  \Psi ^{\ast} adalah kompleks konjugat dari \Psi ) yang bersifat real dan tidak negtif-sebagai sebuah probabiltas tentunya.

[3] Bernard d’Espagnat, The Quantum Theory and Reality, Scientic American, Nov 1979 (Vol 241), halaman 165.

[4] Dikutip dari artikel yang menarik oleh N. David Mermin, Apakah bulan  masih ada ketika tak seorangpun melihat?, Physics Today, April 1985, halaman 38.

[5] Dikutip oleh Mermin (catatan kaki sebelumnya), halaman 40.

[6]Pernyataan ini cukup kuat: berdasarkan pada beberapa teori dan eksperimen  terobosan, beberapa diantaranya akan dibahas kemudian. Dan terdepat keeksisan dengan formulasi lain (seperti interpretasi banyak dunia) yang tidak dapat dimasukkan dalam tiga jawaban posisi (realist, ortodox, dan agnostic). Tetapi ini dirasa cukup bijaksana, paling tidak dalam pandangan pendidikan, untuk memakai landasan yang benar dan tepat pada tingkat ini, dan mengabaikan pilihan lainnya.

[7]Aturan pengukuran dalam mekanika kuantum sangat kritis dan ganjil yang mungkin akan meragukan kita apakah pengkuran yang dulakukan sudah tepat. Apa yang telah dilakukan dalam hubungannya dengan interaksi antara sistem mikroskopik (kuantum) dengan pengukuran aparatus makroskopik (klasik) (seperti yang dikatakan Bohr),

[8]Nyatanya \Psi (x,t) pasti menghasilkan nilai nol lebih cepat dari pada 1 / \sqrt{\left | x \right |}, di mana \left | x \right | \to \infty . Normalisasi hanya menghasilkan nilai modulus A, fase gelombang tidak akan dihasilkan. Bagimanapun juga, seperti yang telah kita lihat, tak ada hasil fisis yang dihasilkan.

[9]Untuk menhindari kekacauan penulisan persamaan pada bentuk ingteral, saya akan menyembunyikan batas integral ketika menjadi ±∞ .

[10]Aturan product rule adalah:

\frac{d}{dx} (fg) = f \frac{dg}{dx} + \frac{df}{dx} g

yang mana mengikuti kaidah di bawah ini:

\int_{a}^{b} f \frac{dg}{dx} dx = - \int_{a}^{b} \frac{df}{dx} g dx + fg |_{a}^{b}

[11]Operator adalah instruksi untuk melakukan sesuatu kepada fungsi yang mengikutinya

[12]picolo player

[13]Ini akan dijelaskan pada kesempatan lain. Kebanykan penulis mengatakan kalau formula de Broglie adalah aksioma yang kemudian mereka mendeduksi hubungan momentum dengan operator . Walaupun ini adalah pendekatan konseptual yang lebih aman, tetapi melibatkan matematis yang sangat rumit.

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko
This entry was posted on Friday, November 20th, 2009 at 07:28 and tagged with , , , and posted in Mekanika kuantum. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed.

11 responses to “1. Fungsi Gelombang (pandangan kuantum)”

Leave a comment