Atom Hidrogen (Mekanika kuantum dalam Tiga Dimensi Bagian 2)


4.2 Atom Hidrogen


Atom hidrogen terdiri dari sebuah proton yang berat dan relatif diam (biasanya ditemoatkan di titik pusat koordinat) yang bermuatan e, dan sebuah elektron yang lebih ringan (dengan muatan -e) yang berputar mengelilingi proton dalam sebuah orbit tertentu (lihat gambar 4.3). Dari hukum Coulomb, energi potensialnya adalah (dalam satuan SI)

[4.52]

V(r) = - \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r} ,

dan persamaan radialnya (Persamaan 4.37) adalah

[4.53]

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}u}{dr^{2}} + \left [ - \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r} + \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{l(l+1)}{r^{2}} \right ]u = Eu .

Gambar 4.3: Atom Hidrogen

Tantangan kita kali ini adalah menyelesaikan persamaan ini untuk u(r) dan menghitung energi elektron E yang diijinkan. Atom hidrogen adalah sebuah kasus penting dalam mekanika kuantum yang mana kita akan menyelesaikannya secara detail dengan menggunakan metode yang telah digunakan dalam solusi analitik pada permasalahan osilator harmonik. (Jika setiap lagkah dalam proses ini kurang jelas, kamu bisa melihat kembali pada sesi 2.3.2 untuk penjelasan lebih lengkap.) Kebetulan sekali, potensial Coulomb (Persamaan 4.52) berlaku keadaan kontinu (dengan E > 0), yang menjelaskan hamburan elektron-proton, sebaik pada keadaan terikat diskret, yang merepresentasikan atom hidrogen, tetapi sebaiknya kita menahan perhatian kita mengenai hal ini untuk dibahas kemudian.

4.2.1 Fungsi Gelombang Radial

Tugas pertama kita adalah untuk merapikan notasi. Kita misalkan

[4.54]

\kappa \equiv \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar} .

(Untuk keadaan terikat, E < 0, maka \kappa bersifat real.) Pembagian Persamaan 4.53 dengan E, kita dapatkan

\frac{1}{\kappa} \frac{d^{2}u}{dr^{2}} = \left [ 1 - \frac{me^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2} \kappa} \frac{1}{(\kappa r)} + \frac{l(l+1)}{(\kappa r)^{2}} \right ]u .

Dengan ini dianjurkan untuk memisalkan dengan

[4.55]

\rho \equiv \kappa r , dan \rho_{0} \equiv \frac{me^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2} \kappa} ,

Dengan permisalan tersebut, maka persamaan radial menjadi

[4.56]

\frac{d^{2}u}{d \rho^{2}} = \left [ 1 - \frac{\rho_{0}}{\rho} + \frac{l(l+1)}{\rho^{2}} \right ]u .

Selanjutnya kita memanfaatkan bentuk asimtotik dari solusi. pada \rho \rightarrow \infty , kita asumsikan bahwa bagian dalam kurung kotak mendominasi, maka persamaan 4.56 menjadi

[4.56]

\frac{d^{2}u}{d \rho^{2}} = u .

Dari sini, solusi umumnya adalah

[4.67]

u(\rho) = Ae^{-\rho} + Be^{\rho},

tetapi, nilai e^{-\rho} menjadi tak berhingga pada \rho \to \infty , sehingga B = 0 . Dengan jelas,

[4.58]

u(\rho) \sim Ae^{-\rho}

untuk nilai \rho yang sangat besar. Di sisi lain, pada \rho \to 0 , maka kali ini bagian sentrifugal yang mendominasi[1], maka kira-kira Persamaan 4.45 menjadi

\frac{d^{2}u}{d\rho^{2}} = \frac{l(l+1)}{\rho^{2}}u .

Solusi umumnya adalah (kamu bisa memeriksanya sendiri)

u(\rho) = C\rho^{l+1} + D\rho^{-l} ,

Tetapi \rho^{-l} bernilai tak berhingga pada \rho \to 0 , maka kita harus memilih D = 0 . Oleh karena itu

(4.59)

u(\rho) \sim C\rho^{l+1}

untuk nilai \rho yang kecil.

Langkah selanjutnya adalah menghilangkan perilaku asimptotik, untuk itu kita perkenalkan fungsi baru v(\rho) :

[4.60]

u(\rho) = \rho^{l+1}e^{-\rho}v(\rho) ,

Dengan harapan bahwa v(\rho) akan menjadi lebih sederhana dari pada u(\rho) . Walaupun indikasi pertamanya tidak menguntungkan kita, tetapi tidak apalah, mari kita kerjakan saja

\frac{du}{dp} = \rho^{l}e^{-\rho} \left [ (l+1-\rho) + \rho \frac{dv}{d\rho} \right ] ,

dan turunan keduanya adalah

\frac{d^{2}u}{d\rho^{2}} = \rho^{l}e^{-\rho} \left \{ \left [ -2l - 2 + \rho + \frac{i(l+1)}{\rho} \right ] v + 2 \left ( l + 1 - \rho \right ) \frac{dv}{d\rho} + \rho \frac{d^{2}v}{d\rho^{2}} \right \} .

Dalam bentuk v(\rho) , maka persamaan radial menjadi

[4.61]

\rho \frac{d^{2}v}{d \rho^{2}} + 2 \left ( l + 1 - \rho \right ) \frac{dv}{d \rho} + \left [ \rho_{0} - 2 (l + 1 ) \right ] v = 0

Akhirnya, kita bisa mengasumsikan bahwa solusi v(\rho) dapat diekspresikan sebagai deret pangkat dalam \rho :

[4.62]

v(\rho) = \sum_{j = 0}^{\infty} = a_{j} \rho^{j} .

Permasalahan kita sekarang adalah untuk menentukan koefisien \left ( a_{0}, a_{1}, a{2}, \cdots \right ) . Turunan pertama Persamaan 4.62 terhadap \rho adalah

\frac{dv}{d \rho} = \sum_{j = 0}^{\infty} j a_{j} \rho^{j - 1} = \sum_{j = 0}^{\infty} (j + 1) a_{j + 1} \rho^{j} .

[Dalam penjumlahan kedua kita telah menamakan ulang “indeks durni”: \to j + 1 . Jika ini mengganggumu, tulislah ulang penjumlahan yang pertama secara lebih eksplisit, dan periksalah. Kamu mungkin berkata kalau penjumlahan seharusnya dimulai pada j = -1 , tetapi faktor (j + 1) dapat menghilangkan permasalahan tersebut, sehingga kita bisa memulai penjumlahan sama seperti biasanya yaitu dimulai pada j = 0 .] Penurunan lagi terhadap \rho ,

\frac{d^{2} v}{d \rho^{2}} = \sum_{j = 0}^{\infty} j \left ( j + 1 \right ) a_{j + 1} \rho^{j} .

Dengan memasukkan ini ke dalam Persamaan 4.61 kita dapatkan

\sum_{j = 0}^{\infty} j \left ( j + 1 \right ) a_{j + 1} \rho^{j} + 2 \left ( l + 1 \right ) \sum_{j = 0}^{\infty} \left ( j + 1 \right ) a_{j + 1} \rho^{j} - 2 \sum_{j = 0}^{\infty} a_{j} \rho^{j} \\ + \left [ \rho_{0} 2 \left ( l + 1 \right ) \right ] \sum_{j = 0}^{\infty} a_{j} \rho^{j} = 0 .

Dengan menyamakan koefisiennya berdasarkan pagkatnya menghasilkan

J(j + 1) a_{j + 1} + 2(l + 1) (j + 1) a_{j + 1} - 2a_{j} + \left [ \rho_{0} - 2(l + 1) \right ] a_{j} = 0 ,

atau

[4.63]

a_{j+1} = \left \{ \frac{2(j + l + 1) - \rho_{0}}{(j + 1) (j + 2l + 2)} \right \} a_{j} .

Rumusan rekursi ini menentukan nilai koefisien, dan karena itu fungsi v(\rho) : kita mulai dengan a_{0} + A (ini akan menjadi konstanta secara keseluruhan, yang akan ditentukan secepatnya dengan menggunakan normalisasi), dan dari Persamaan 4.63 kita dapatkan a_{1} , dengan menggunakan hasil ini kembali, kita akan memperoleh a_{2} , demikian seterusnya.[2]

Sekarang, kita lihat seperti apa bentuk koefisiennya untuk nilai j yang besar (ini berhubungan dengan nilai \rho yang besar pula, di mana didominasi oleh pangkat yang terbesar). Dalam daerah ini, formula rekursi menjadi

a_{j + 1} \cong \frac{2j}{j(j + 1)} a_{j} = \frac{2}{j + 1} ,

sehingga

[4.64]

a_{j} \cong \frac{2^{j}}{j!} A .

Untuk saat ini anggap saja ini adalah solusi eksaknya. Maka

v(\rho) = A \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{2^{j}}{j1} \rho^{j} = A e^{2 \rho} ,

dan oleh sebab itu

[4.65]

u(\rho) = A \rho^{l + 1} e^{\rho} ,

yang akan menjadi tak berhingga pada \rho yang besar. Eksponensial positif tentunya adalah perilaku asimptotik yang tidak kita inginkan dalam Persamaan 4.57. (Ini bukanlah suatu kebetulan bahwa ini akan muncul lagi disini, ini mencerminkan bentuk asimptotik pada beberapa solusi persamaan radial, itu hanya tidak menjadi satu seperti apa yang kita inginkan, karena tidak ternormalisasi.) hanya ada satu cara untuk keluar dari dilema ini: deret haruslah berhenti. Harus terjadi pada suatu nilai integer maksimal, j_{maks} , seperti di bawah ini

[4.66]

a_{j_{maks} + 1} = 0

(dan koefisien yang berada diluar ini akan hilang dengan sendirinya). Dengan jelas (Persamaan 4.63)

2(j + l + 1) - \rho_{0} = 0 .

Definisikan

[4.67]

n \equiv j_{maks} + l + 1

(yang dinakamakan dengan bilangan kuantum utama), kita punya

[4.68]

\rho_{0} = 2n .

Karena \rho_{0} menentukan nilai E (Persamaan 4.54 dan 4.55):

[4.68]

E = - \frac{\hbar^{2} \kappa^{2}}{2m} = - \frac{me^{4}}{8 \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} \hbar^{2} \rho_{0}^{2}} ,

maka energi yang diijjinkan adalah

[4.70]

E = - \left [ \frac{m}{s \hbar^{2} \left ( \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{2}} \right )^{2}} \right ] \frac{1}{n^{2}} = \frac{E_{1}}{n^{2}} , dengan n = 1, 2, 3, \cdots .

Ini adalah formula Bohr yang terkenal-hasil yang paling penting dari setiap pengukuran dalam mekanika kuantum. Bohr mendapatkannya pada 1913 yang mana tidak dapat diterapkan dalam fisika klasik dan awal-awal kelahiran teori kuantum (Persamaan Shroedinger belum muncul hingga tahun 1924).

Pengkombinasian Persamaan 4.55 dan 4.68 kita dapatkan bahwa

[4.71]

\kappa = \left ( \frac{m e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2}} \right ) \frac{1}{n} = \frac{1}{an} ,

di mana

[4.72]

a \equiv \frac{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2}}{m e^{2}} = 0,529 \times 10^{-10} m

adalah jari-jari Bohr. Ini berlanjut (dari Persamaan 4.55 lagi) bahwa

[4.73]

\rho = \frac{r}{an}

Dengan jelas bahwa fungsi gelombang spasial untuk atom hodrogen ditandai dengan tiga bilangan kuantum (n, l, dan m):

[4.74]

\psi_{nlm} \left ( r, \theta, \phi \right ) = R_{nl} (r) Y_{l}^{m} \left ( \theta, \phi \right ) ,

di mana (merujuk kembali pada Persamaan 4.36 dan 4.60)

[4.75]

R_{nl} (r) = \frac{1}{r} \rho^{l + 1} e^{-\rho} v(\rho) ,

dengan v(\rho) adalah polynomial pada sudut j_{maks} = n - l -1 dalam \rho , yang koefisiennya ditentukan oleh formula rekursi (hingga pada faktor normalisasi keseluruhan)

[4.76]

a_{j + 1} = \frac{2(j + l + l - n)}{(j + 1) (j + 2l + 2)} a_{j} .

Keadaan dasarnya (ground state) adalah pada n = 1 yang memiliki energi yang paling rendah, dengan meletakkan ini pada konstanta fisis, kita dapatkan

[4.77]

E_{1} = \left [ \frac{m}{2 \hbar^{2}} \left ( \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \right ) ^{2} \right ] = -13,6 eV .

Dengan jelas energi ikat atom hidrogen (nilai energi yang harus diberikan pada elektron untuk mengionisasi atom) adalah 13,6 eV. Persamaan 4.67 menghendaki l = 0 , yang mana juga m = 0 (lihatlah Persamaan 4.29), sehingga

[4.78]

\psi \left ( r, \theta, \phi \right ) = R_{10} (r) Y_{0}^{0} (\theta, \phi) .

Formula rekursi terpotong setelah bagian yang pertama (Persamaan 4.76 dengan j = 0 menghasilkan a_{1} = 0 ), sehingga v(\rho) adalah sebuah konstanta (a_{0} ) dan

[4.79]

R_{10} (r) = \frac{a_{0}}{a} e^{-r/a} .

Dengan menormalisasikannya, yang sesuai dengan Persamaan 4.31,

\int_{0}^{\infty} \left | R_{10} \right | ^{2} r^{2} dr = \frac{\left | a_{0} \right | ^{2}}{a_{2}} \int_{0}^{\infty} e_{-2r/a} r^{2} dr = \left | a_{0} \right | ^{2} \frac{a}{4} = 1 ,

sehingga a_{0} = 2 / \sqrt{a} . Sementara itu, Y_{0}^{0} = 1 / \sqrt{4 \pi} , maka

[4.80]

\psi_{100} \left ( r, \theta, \phi \right ) = \frac{1}{\sqrt{\pi a^{3}}} e^{-r/a} .

Jika n = 2 , energinya adalah

[4.81]

E_{2} = \frac{-13,6}{4} = -3,4 eV ;

Ini adalah keadaan tereksitasi yang pertama, atau baiknya, suatu keadaan dimana kita memiliki l = 0 (dengan m = 0 ) atau l = 1 (dengan m = -1, 0, atau 1 ), sehingga sebenarnya terdapat empat keadaan berbeda yang berbagi energi ini. Jika l = 0 , formula rekursi (Persamaan 4.76) memberikan

a_{1} = -a_{0} (menggunakan j = 0 ), dan a_{2} = 0 (menggunakan j = 1 ),

Maka v(\rho) = a_{0} (1 - \rho) , dan karenanya

[4.82]

R_{20} = \frac{a_{0}}{2a} \left ( 1 - \frac{r}{2a} \right ) e^{-r/2a} .

Jika l = 1 , formula rekursi mengakhiri deret pada bagian pertama (j = 0 ), maka (\rho ) adalah sebuah konstanta (a_{0} ), dan kita dapatkan

[4.83]

R_{21} (r) = \frac{a_{0}}{4a} r e^{-r/2a} .

[pada setiap kasus a_{0} dihitung dengan menggunakan normalisasi, lihatlah soal 4.11.]

Untuk sembarang l , nilai l yang mungkin adalah (konsisten dengan Persamaan 4.67) adalah

[4.84]

l = 0, 1, 2, 3, \cdots , n - 1 .

Untuk masing-masing l , terdapat (2l + 1) nilai m yang mungkin (Persamaan 4.29), sehingga degenerasi level energi total E_{n} adalah

[4.85]

d(n) = \sum_{l = 0}^{n - 1} (2l + 1) = n^{2} .

Polynomial v(\rho) (didefinisikan oleh formula rekursi, Persamaan 4.76) adalah sebuah fungsi yang dikenal dengan baik oleh matemamatikawan terapan, terpisah dari normalisasi dapat dituliskan sebagai

[4.86]

v(\rho) = L_{n - l - 1}^{2l + 1} (2 \rho) ,

di mana

L_{q - p}^{p} \equiv (-1)^{p} \left ( \frac{d}{dx} \right ) ^{p} L_{q} (x)

adalah polynomial Laguerre terasosiasi, dan

[4.88]

L_{q} \equiv e^{x} \left ( \frac{d}{dx} \right ) ^{2} \left ( e^{-x} x^{q} \right )

adalah polynomial Laguerre ke-q.[3] (beberapa polynomial ditampilkan dalam Tabel 4.4. beberapa polynomial Laguerre terasosiasi diberikan dalam Tabel 4.5. Beberapa fungsi gelombang radial ditampilkan dalam Tabel 4.6 dan sketsa grafiknya dapat dilihat dalam Gambar 4.4.) Normalisasi fungsi gelombang atom hydrogen adalah[4]

[4.89]

\psi_{nlm} = \sqrt{ \left ( \frac{2}{na} \right ) ^{3} \frac{(n - l - 1) ! }{2n \left [ (n + 1) ! \right ] ^{3} } } e^{-r/na} \left ( \frac{2r}{na} \right ) ^{l} L_{n - l - 1}^{2l + 1} \left ( \frac{2r}{na} \right ) Y_{l}^{m} \left ( \theta, \phi \right ) .

Sebenarnya ini tidaklah mencerminkan keadaan nyata secara benar, tetapi Ini adalah salah satu dari beberapa sistem yang paling realistis yang dapat diselesaikan hingga saat ini dalam bentuk yang eksak. Itu juga bersifat orthogonal yang akan kita buktikan kemudian

Tabel 4.4: Beberapa polinomial laguerre, L_{q} (x) .

Tabel 4.5: beberapa polynomial Laguerre terasosiasi, L_{q-p}^{p} (x) .

Tabel 4.6: Beberapa fungsi gelombang radial atom hidrogen, R_{nl} (r) .

[4.90]

\int \psi_{nlm} ^{\ast} \psi_{n'l'm'} r_{2} \sin{\theta} dr d\theta d\phi = \delta_{nn'} \delta_{ll'} \delta_{mm'} .

Gambar 4.4: Grafik dari beberapa fungsi gelombang radial atom hydrogen, R_{nl} (r)

4.2.2 Spektrum Hidrogen

Pada prinsipnya, jika kita meletakkan atom hidrogen pada suatu keadaan stasioner \Psi_{nlm} , seharusnya akan berada di situ selamanya. Bagaimanapun juga, jika kamu menggnggunya sedikit (menumbukkan dengan atom lain, atau dengan menyinarkan cahaya padanya), maka atom mungkin akan berpindah ke keadaan stasioner lain, salah satunya dengan menyerap energi dan bergerak menuju keadaan energi yang lebih tinggi, atau dengan melepaskan energi (biasanya dalam bentuk radiasi elektromagnetik) dan bergerak menuju keadaan energi yang lebih rendah.[5] Dalam prakteknya seperti gangguan selalu ada, transisi (atau yang biasa dinamakan dengan “lompatan kuantum”) pasti akan terjadi, dan hasilnya adalah bahwa sekumpulan atom hidrogen melepaskan cahaya (foton), di mana energinya berhubungan dengan perbedaan energi antara keadaan awal dan akhir:

[4.91]

E_{\gamma} = E_{i} - E_{f} = -13,6 eV \left ( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right ) .

Sekarang, berdasarkan formula Planck[6] energi foton adalah proporsional dengan frekuensinya:

[4.92]

E_{\gamma} = h \nu .

Sementara itu, panjang gelombangnya diberikan oleh \lambda = c / v , sehingga

[4.93]

\frac{1}{\lambda} = R \left ( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right ) ,

di mana

[4.94]

R \equiv \frac{m}{4 \pi c \hbar^{3}} \left ( \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \right ) ^{2} = 1,097 \times 10^{7} m^{-1} .

R dikenal dengan konstanta Rydberg, dan Persamaan 4.93 adalah formula Rydberg untuk spektrum atom hidrogen. Itu ditemukan secara empiris pada abad ke-19, dan merupakan kemenangan terbesar dari teori Bohr adalah kemampuannya dalam menghitung hasil ini, dan untuk menghitung R dalam bentuk konstanta dasar dalam ilmu pasti. Transisi menuju keadaan dasar (n_{f} = 1 ) berada dalam jangkauan ultraviolet, yang dikenal oleh para spketrokopis sebagai deret Lyman. Transisi menuju keadaan tereksitasi pertama (n_{f} = 2 ) jatuh pada daerah cahaya tampak, yang merupakan deret Balmer. Transisi me menuju n_{f} = 1 (Deret Paschen) terjadi dalam inframerah, dan seterusnya (lihat Gambar 4.5). (Pada suhu ruangan, kebanyakan atom hidrogen berada pada keadaan dasar, untuk mendapatkan spektrum emisi, kita harus menaikkannya pada keadaan tereksitasi, biasanya ini terjadi dengan melewatkan cetusan api elektrik pada gas.)



[1]Argumen ini tidak dapat diaplikasikan ketika l=0s=-2 (walaupun hasil akhirnya, Persamaan 4.59 sesuai untuk kasus tersebut). Tetapi tidak apalah, semua yang kita coba sebenarnya adalah untuk menyajikan beberapa motivasi untuk mengubah variabelya (Persamaan 4.60).

[2]Kamu mungkin heran kenapa kita tidak langsung menggunakan metode deret secara langsung pada u(\rho) ? Mengapa harus memasukkan faktor asimptotik sebelum mengaplikasikan prosedur ini? Alasanya adalah untuk menghilangkan faktor \rho^(l + 1) , di mana itu adalah faktor estetik: tanpa ini, kita akan mendapatkan serangkaian deret panjang nol (koefisien bukan nol pertama berada pada a_{l + 1} ), dengan menghilangkan faktor \rho^(l + 1) kita mendapatkan deret yang dimulai dengan \rho^(0) . Faktor e^{-\rho} lebih genting lagi, jika kamu tidak menghilangkan faktor ini, kamu akan mendapatkan tiga bentuk formula rekursi yang terdapat a_{j + 2} , a_{j + 1} , dan a_{j} (cobalah), dan kita akan sangat kesulitan mengerjakan ini.

[3]Seperti biasanya, terdapat lawan dari kaidah normalisasi dalam literature, saya tealah menggunakan yang paling dekat dengan standar.

[4]Jika kamu ingin mengetahui bagaimana faktor normalisasi dihitung, pelajari (sebagai contoh), L. Schiff, Quantum Mechanics, 2nd ed. (New York: McGraw-Hill, 1968), halaman 93.

[5]Secara alami, ini melibatkan interaksi kebergantungan waktu, dan mekanisme detilnya akan dibahas segera dalam BAB 9, untuk kali ini mekanisme aktualnya tidak penting.

[6]Foton adalah radiasi elektromagnetik kuantum, ini adalah objek relativistik, dan untuk itu ini berada diluar ranah yang kita pelajari, mekanika kuantum nonrelativistik. Namun ini sangat berguna untuk membicarakan foton dan melibatkan formula Planck untuk energinya, tetapi simpan saja di pikiranmu karena ini berada di luar teori yang sedang kita kembangkan.

[7]Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat Boas (catatan kaki 2), BAB 5 Sesi 4.

[8]Faktor normalisasi didapatkan dari soal 4.47. Faktor \epsilon dipilih untuk konsistensi dengan notasi yang akan kita gunakan dalam teori momentum anguler dan ini merupakan standar yang cukup beralasan, walaupun beberapa buku yang lebih lama menggunkan konvensi yang lama. Ingat bahwa:

Y_{l}^{-m} = (-1)^{m} Y_{l}^{m}

[9]Simbol m disini menunjukkan massa, tentunya kita tidak akan menemukan bilangan kuantum m dalam persamaan Radial.

[10]Sebenarnya, semua yang kita butuhkan adalah bahwa fungsi gelombang haruslah ternormalisasi,bukan hanya yang terbatas pada R(r) \propto 1/r pada titik pusat seharusnya ternormalisasi (karena faktor r^{2} dalam persamaan 4.31). Untuk bukti yang lebih jelas bahwa B=0, lihat R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (New York: Plenum, 1980), halaman 351.

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

3 responses to “Atom Hidrogen (Mekanika kuantum dalam Tiga Dimensi Bagian 2)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: