4.2 Atom Hidrogen
Atom hidrogen terdiri dari sebuah proton yang berat dan relatif diam (biasanya ditemoatkan di titik pusat koordinat) yang bermuatan e, dan sebuah elektron yang lebih ringan (dengan muatan -e) yang berputar mengelilingi proton dalam sebuah orbit tertentu (lihat gambar 4.3). Dari hukum Coulomb, energi potensialnya adalah (dalam satuan SI)
,
dan persamaan radialnya (Persamaan 4.37) adalah
.
Gambar 4.3: Atom Hidrogen
Tantangan kita kali ini adalah menyelesaikan persamaan ini untuk u(r) dan menghitung energi elektron E yang diijinkan. Atom hidrogen adalah sebuah kasus penting dalam mekanika kuantum yang mana kita akan menyelesaikannya secara detail dengan menggunakan metode yang telah digunakan dalam solusi analitik pada permasalahan osilator harmonik. (Jika setiap lagkah dalam proses ini kurang jelas, kamu bisa melihat kembali pada sesi 2.3.2 untuk penjelasan lebih lengkap.) Kebetulan sekali, potensial Coulomb (Persamaan 4.52) berlaku keadaan kontinu (dengan E > 0), yang menjelaskan hamburan elektron-proton, sebaik pada keadaan terikat diskret, yang merepresentasikan atom hidrogen, tetapi sebaiknya kita menahan perhatian kita mengenai hal ini untuk dibahas kemudian.
4.2.1 Fungsi Gelombang Radial
Tugas pertama kita adalah untuk merapikan notasi. Kita misalkan
.
(Untuk keadaan terikat, E < 0, maka bersifat real.) Pembagian Persamaan 4.53 dengan E, kita dapatkan
.
Dengan ini dianjurkan untuk memisalkan dengan
, dan ,
Dengan permisalan tersebut, maka persamaan radial menjadi
.
Selanjutnya kita memanfaatkan bentuk asimtotik dari solusi. pada , kita asumsikan bahwa bagian dalam kurung kotak mendominasi, maka persamaan 4.56 menjadi
.
Dari sini, solusi umumnya adalah
,
tetapi, nilai menjadi tak berhingga pada , sehingga . Dengan jelas,
untuk nilai yang sangat besar. Di sisi lain, pada , maka kali ini bagian sentrifugal yang mendominasi[1], maka kira-kira Persamaan 4.45 menjadi
.
Solusi umumnya adalah (kamu bisa memeriksanya sendiri)
,
Tetapi bernilai tak berhingga pada , maka kita harus memilih . Oleh karena itu
untuk nilai yang kecil.
Langkah selanjutnya adalah menghilangkan perilaku asimptotik, untuk itu kita perkenalkan fungsi baru :
,
Dengan harapan bahwa akan menjadi lebih sederhana dari pada . Walaupun indikasi pertamanya tidak menguntungkan kita, tetapi tidak apalah, mari kita kerjakan saja
,
dan turunan keduanya adalah
.
Dalam bentuk , maka persamaan radial menjadi
Akhirnya, kita bisa mengasumsikan bahwa solusi dapat diekspresikan sebagai deret pangkat dalam :
.
Permasalahan kita sekarang adalah untuk menentukan koefisien . Turunan pertama Persamaan 4.62 terhadap adalah
.
[Dalam penjumlahan kedua kita telah menamakan ulang “indeks durni”: . Jika ini mengganggumu, tulislah ulang penjumlahan yang pertama secara lebih eksplisit, dan periksalah. Kamu mungkin berkata kalau penjumlahan seharusnya dimulai pada , tetapi faktor dapat menghilangkan permasalahan tersebut, sehingga kita bisa memulai penjumlahan sama seperti biasanya yaitu dimulai pada .] Penurunan lagi terhadap ,
.
Dengan memasukkan ini ke dalam Persamaan 4.61 kita dapatkan
.
Dengan menyamakan koefisiennya berdasarkan pagkatnya menghasilkan
,
atau
.
Rumusan rekursi ini menentukan nilai koefisien, dan karena itu fungsi : kita mulai dengan (ini akan menjadi konstanta secara keseluruhan, yang akan ditentukan secepatnya dengan menggunakan normalisasi), dan dari Persamaan 4.63 kita dapatkan , dengan menggunakan hasil ini kembali, kita akan memperoleh , demikian seterusnya.[2]
Sekarang, kita lihat seperti apa bentuk koefisiennya untuk nilai j yang besar (ini berhubungan dengan nilai yang besar pula, di mana didominasi oleh pangkat yang terbesar). Dalam daerah ini, formula rekursi menjadi
,
sehingga
.
Untuk saat ini anggap saja ini adalah solusi eksaknya. Maka
,
dan oleh sebab itu
,
yang akan menjadi tak berhingga pada yang besar. Eksponensial positif tentunya adalah perilaku asimptotik yang tidak kita inginkan dalam Persamaan 4.57. (Ini bukanlah suatu kebetulan bahwa ini akan muncul lagi disini, ini mencerminkan bentuk asimptotik pada beberapa solusi persamaan radial, itu hanya tidak menjadi satu seperti apa yang kita inginkan, karena tidak ternormalisasi.) hanya ada satu cara untuk keluar dari dilema ini: deret haruslah berhenti. Harus terjadi pada suatu nilai integer maksimal, , seperti di bawah ini
(dan koefisien yang berada diluar ini akan hilang dengan sendirinya). Dengan jelas (Persamaan 4.63)
.
Definisikan
(yang dinakamakan dengan bilangan kuantum utama), kita punya
.
Karena menentukan nilai E (Persamaan 4.54 dan 4.55):
,
maka energi yang diijjinkan adalah
, dengan .
Ini adalah formula Bohr yang terkenal-hasil yang paling penting dari setiap pengukuran dalam mekanika kuantum. Bohr mendapatkannya pada 1913 yang mana tidak dapat diterapkan dalam fisika klasik dan awal-awal kelahiran teori kuantum (Persamaan Shroedinger belum muncul hingga tahun 1924).
Pengkombinasian Persamaan 4.55 dan 4.68 kita dapatkan bahwa
,
di mana
adalah jari-jari Bohr. Ini berlanjut (dari Persamaan 4.55 lagi) bahwa
Dengan jelas bahwa fungsi gelombang spasial untuk atom hodrogen ditandai dengan tiga bilangan kuantum (n, l, dan m):
,
di mana (merujuk kembali pada Persamaan 4.36 dan 4.60)
,
dengan adalah polynomial pada sudut dalam , yang koefisiennya ditentukan oleh formula rekursi (hingga pada faktor normalisasi keseluruhan)
.
Keadaan dasarnya (ground state) adalah pada yang memiliki energi yang paling rendah, dengan meletakkan ini pada konstanta fisis, kita dapatkan
.
Dengan jelas energi ikat atom hidrogen (nilai energi yang harus diberikan pada elektron untuk mengionisasi atom) adalah 13,6 eV. Persamaan 4.67 menghendaki , yang mana juga (lihatlah Persamaan 4.29), sehingga
.
Formula rekursi terpotong setelah bagian yang pertama (Persamaan 4.76 dengan menghasilkan ), sehingga adalah sebuah konstanta () dan
.
Dengan menormalisasikannya, yang sesuai dengan Persamaan 4.31,
,
sehingga . Sementara itu, , maka
.
Jika , energinya adalah
;
Ini adalah keadaan tereksitasi yang pertama, atau baiknya, suatu keadaan dimana kita memiliki (dengan ) atau (dengan atau ), sehingga sebenarnya terdapat empat keadaan berbeda yang berbagi energi ini. Jika , formula rekursi (Persamaan 4.76) memberikan
(menggunakan ), dan (menggunakan ),
Maka , dan karenanya
.
Jika , formula rekursi mengakhiri deret pada bagian pertama (), maka () adalah sebuah konstanta (), dan kita dapatkan
.
[pada setiap kasus dihitung dengan menggunakan normalisasi, lihatlah soal 4.11.]
Untuk sembarang , nilai yang mungkin adalah (konsisten dengan Persamaan 4.67) adalah
.
Untuk masing-masing , terdapat nilai yang mungkin (Persamaan 4.29), sehingga degenerasi level energi total adalah
.
Polynomial (didefinisikan oleh formula rekursi, Persamaan 4.76) adalah sebuah fungsi yang dikenal dengan baik oleh matemamatikawan terapan, terpisah dari normalisasi dapat dituliskan sebagai
,
di mana
adalah polynomial Laguerre terasosiasi, dan
adalah polynomial Laguerre ke-q.[3] (beberapa polynomial ditampilkan dalam Tabel 4.4. beberapa polynomial Laguerre terasosiasi diberikan dalam Tabel 4.5. Beberapa fungsi gelombang radial ditampilkan dalam Tabel 4.6 dan sketsa grafiknya dapat dilihat dalam Gambar 4.4.) Normalisasi fungsi gelombang atom hydrogen adalah[4]
.
Sebenarnya ini tidaklah mencerminkan keadaan nyata secara benar, tetapi Ini adalah salah satu dari beberapa sistem yang paling realistis yang dapat diselesaikan hingga saat ini dalam bentuk yang eksak. Itu juga bersifat orthogonal yang akan kita buktikan kemudian
Tabel 4.4: Beberapa polinomial laguerre, .
Tabel 4.5: beberapa polynomial Laguerre terasosiasi, .
Tabel 4.6: Beberapa fungsi gelombang radial atom hidrogen, .
.
Gambar 4.4: Grafik dari beberapa fungsi gelombang radial atom hydrogen,
4.2.2 Spektrum Hidrogen
Pada prinsipnya, jika kita meletakkan atom hidrogen pada suatu keadaan stasioner , seharusnya akan berada di situ selamanya. Bagaimanapun juga, jika kamu menggnggunya sedikit (menumbukkan dengan atom lain, atau dengan menyinarkan cahaya padanya), maka atom mungkin akan berpindah ke keadaan stasioner lain, salah satunya dengan menyerap energi dan bergerak menuju keadaan energi yang lebih tinggi, atau dengan melepaskan energi (biasanya dalam bentuk radiasi elektromagnetik) dan bergerak menuju keadaan energi yang lebih rendah.[5] Dalam prakteknya seperti gangguan selalu ada, transisi (atau yang biasa dinamakan dengan “lompatan kuantum”) pasti akan terjadi, dan hasilnya adalah bahwa sekumpulan atom hidrogen melepaskan cahaya (foton), di mana energinya berhubungan dengan perbedaan energi antara keadaan awal dan akhir:
.
Sekarang, berdasarkan formula Planck[6] energi foton adalah proporsional dengan frekuensinya:
.
Sementara itu, panjang gelombangnya diberikan oleh , sehingga
,
di mana
.
R dikenal dengan konstanta Rydberg, dan Persamaan 4.93 adalah formula Rydberg untuk spektrum atom hidrogen. Itu ditemukan secara empiris pada abad ke-19, dan merupakan kemenangan terbesar dari teori Bohr adalah kemampuannya dalam menghitung hasil ini, dan untuk menghitung R dalam bentuk konstanta dasar dalam ilmu pasti. Transisi menuju keadaan dasar () berada dalam jangkauan ultraviolet, yang dikenal oleh para spketrokopis sebagai deret Lyman. Transisi menuju keadaan tereksitasi pertama () jatuh pada daerah cahaya tampak, yang merupakan deret Balmer. Transisi me menuju (Deret Paschen) terjadi dalam inframerah, dan seterusnya (lihat Gambar 4.5). (Pada suhu ruangan, kebanyakan atom hidrogen berada pada keadaan dasar, untuk mendapatkan spektrum emisi, kita harus menaikkannya pada keadaan tereksitasi, biasanya ini terjadi dengan melewatkan cetusan api elektrik pada gas.)
[1]Argumen ini tidak dapat diaplikasikan ketika (walaupun hasil akhirnya, Persamaan 4.59 sesuai untuk kasus tersebut). Tetapi tidak apalah, semua yang kita coba sebenarnya adalah untuk menyajikan beberapa motivasi untuk mengubah variabelya (Persamaan 4.60).
[2]Kamu mungkin heran kenapa kita tidak langsung menggunakan metode deret secara langsung pada ? Mengapa harus memasukkan faktor asimptotik sebelum mengaplikasikan prosedur ini? Alasanya adalah untuk menghilangkan faktor , di mana itu adalah faktor estetik: tanpa ini, kita akan mendapatkan serangkaian deret panjang nol (koefisien bukan nol pertama berada pada ), dengan menghilangkan faktor kita mendapatkan deret yang dimulai dengan . Faktor lebih genting lagi, jika kamu tidak menghilangkan faktor ini, kamu akan mendapatkan tiga bentuk formula rekursi yang terdapat , , dan (cobalah), dan kita akan sangat kesulitan mengerjakan ini.
[3]Seperti biasanya, terdapat lawan dari kaidah normalisasi dalam literature, saya tealah menggunakan yang paling dekat dengan standar.
[4]Jika kamu ingin mengetahui bagaimana faktor normalisasi dihitung, pelajari (sebagai contoh), L. Schiff, Quantum Mechanics, 2nd ed. (New York: McGraw-Hill, 1968), halaman 93.
[5]Secara alami, ini melibatkan interaksi kebergantungan waktu, dan mekanisme detilnya akan dibahas segera dalam BAB 9, untuk kali ini mekanisme aktualnya tidak penting.
[6]Foton adalah radiasi elektromagnetik kuantum, ini adalah objek relativistik, dan untuk itu ini berada diluar ranah yang kita pelajari, mekanika kuantum nonrelativistik. Namun ini sangat berguna untuk membicarakan foton dan melibatkan formula Planck untuk energinya, tetapi simpan saja di pikiranmu karena ini berada di luar teori yang sedang kita kembangkan.
[7]Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat Boas (catatan kaki 2), BAB 5 Sesi 4.
[8]Faktor normalisasi didapatkan dari soal 4.47. Faktor dipilih untuk konsistensi dengan notasi yang akan kita gunakan dalam teori momentum anguler dan ini merupakan standar yang cukup beralasan, walaupun beberapa buku yang lebih lama menggunkan konvensi yang lama. Ingat bahwa:
[9]Simbol m disini menunjukkan massa, tentunya kita tidak akan menemukan bilangan kuantum m dalam persamaan Radial.
[10]Sebenarnya, semua yang kita butuhkan adalah bahwa fungsi gelombang haruslah ternormalisasi,bukan hanya yang terbatas pada pada titik pusat seharusnya ternormalisasi (karena faktor dalam persamaan 4.31). Untuk bukti yang lebih jelas bahwa B=0, lihat R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (New York: Plenum, 1980), halaman 351.
December 16th, 2011 at 05:09
[…] 4.2. Atom Hidrogen […]
April 23rd, 2015 at 08:27
setelah kita tau rumus rumus tersebut
apa yang kita dapatkan ?
apa yang bisa kita lakukan untuk dapat bermanfaat dlm kehidupan ??
apa kontribusinya ?
April 23rd, 2015 at 08:29
maaf sebelumnya
pertanyaan saya bagitu tidak sopan
saya hanya ingin tau
soalnya sampai sejauh ini saya tdk tau dan tdk paham