Matriks Hamburan (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 7-habis)


Gambar 2.15: Hamburan pada sembarang potensial terlokalisasi [ V(x) = 0 kecuali pada daerah II].

Teori hamburan menghasilkan cara yang nyata untuk potensial yang terlokalisasi sembarang (Gambar 2.15). Pada bagian kiri (Daerah I), V(x) = 0 , maka dari itu

[2.155]

\psi (x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} , di mana k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} .

Pada bagian kanan (Daerah III), V(x) kembali lagi bernilai nol, maka

[2.156]

\psi (x) = F e^{ikx} + G e^{-ikx} $.

Di tengah-tengahnya (Daerah II), tentunya kita tidak bisa menghitung \psi selama kita belum menentukan potensialnya secara spesifik, tetapi karena persamaan Shroedinger adalah linier dan berupa persamaan diferensial orde dua, maka solusi umumnya memiliki bentuk

[2.157]

\psi(x) = c f(x) + D g(x) ,

di mana f(x) dan g(x) adalah solusi terpisah yang independen secara linier. Akan ada empat syarat batas (dua dari gabungan Daerah I dan II, dan dua lagi dari gabungan Daerah II dan III). Dua diantaranya dapat digunakan untuk mengeliminasi C dan D , dan dua lagi yang lainnya dapat “diselesaikan” untuk B dan F dalam bentuk A dan G :

[2.158]

B = S_{11} A + S_{12} G , F = S_{21} A + S_{22} G

Empat koefisien S_{ij} , yang bergantung pada k (dan tentunya juga pada E ), merupakan matriks 2 x 2

[2.159]

S = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} ,

dinamakan dengan matriks hamburan (Scattering matrix) atau matriks-S untuk lebih singkatnya. Matriks-S memberitahukan kepada kita amplitudo keluaran (B dan F ) dalam bentuk amplitudo masukan (A dan G ):

[2.160]

\begin{pmatrix} B \\ F \end{pmatrix} = S \begin{pmatrix} A \\ G \end{pmatrix} .

Pada kasus hamburan yang datang dari sebelah kiri, G = 0 , maka koefisien refleksi dan transmisi adalah

[2.160]

R_{l} = \left. \frac{|B|^{2}}{|A|^{2}} \right |_{G = 0} = |S_{11}|^{2} , T_{l} = \left. \frac{|F|^{2}}{|A|^{2}} \right |_{G = 0} = |S_{21}|^{2} .

Untuk hamburan yang dating dari sebelah kanan,A = 0 , dan

[2.161]

R_{r} = \left. \frac{|F|^{2}}{|G|^{2}} \right |_{A = 0} = |S_{22}|^{2} , T_{r} = \left. \frac{|B|^{2}}{|G|^{2}} \right |_{A = 0} = |S_{12}|^{2} .

Matriks-S memberitahukan kita semuanya yang berhubungan dengan hamburan dari potensial terlokalisasi. Untungnya, itu juga terdapat informasi mengenai keadaan terikat (jika ada). Untuk jika E < 0 , sehingga \psi(x) memiliki bentuk

[2.163]

\psi(x) = f(x) = \begin{cases} B e^{\kappa x}, & \text{daerah I} \\ C f(x) + D g(x), & \text{daerah II} \\ F e^{- \kappa x}, & \text(daerah III) \end{cases}

dengan

[2.164]

\kappa \equiv \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar} .

Kondisi batasnya sama seperti sebelumnya, sehingga matriks-S memiliki struktur yang sama-hanya sekarang E -nya negatif, sehingga k \to i \kappa . Namun kali ini A dan G adalah nol, dimana B dan F tidak, dan oleh sebab itu (Persamaan 2.158) setidaknya dua elemen dalam matriks-S harus infinit. Untuk mendapatkan dengan cara yang lain, jika kamu telah mendapatkan matriks-S (untuk E > 0 ), dan kamu ingin menempatkan keadaan terikat; tempatkan k \to i \kappa , dan lihat energinya yang mana matriks-S tak berhingga.

Sebagai contoh, pada kasus sumur potensial berhingga,

S_{21} = \frac{e^{-2ika}}{\cos{(2la)} - i \frac{\sin{(2la)}}{2kl} (k^{2} + l^{2})}

(Persamaan 2.150). Substitusikan k \to i \kappa , kita lihat bahwa S_{21} menjadi tak berhingga bilamana

\cos{(2la)} = \frac{l^{2} + \kappa^{2}}{2\kappa l} .

Dengan menggunakan identitas trigonometri

\tan{(\frac{\theta}{2})} = \pm \sqrt{1 + \cot^{2}{\theta}} - \cot{\theta} .

Akan kita dapatkan

\tan{(la)} = \frac{l}{\kappa} (tanda positif), dan \cot{(la)} = \frac{\kappa}{l} (tanda negatif).

Nilai tersebut secara tepat adalah kondisi untuk keadaan terikat pada sumur potensial berhingga (Persamaan 2.136 dan Soal 2.28).

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

2 responses to “Matriks Hamburan (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 7-habis)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: