Keadaan Stasioner (Persamaan Schroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 1)


Assalamualaikum wr. wb.

Para Pembaca yang budiman,

Nah, sekarang telah sampailah kita pada pertemuan kedua dengan materi Mekanika Kuantum. Pada pertemuan sebelumnya(BAB 1 – Fungsi Gelombang (Pandangan Kuantum)), kita telah mengupas lebih dalam mengenai sifat-sifat gelombang yang dipandang dari segi kuantum, apa yang harus kita lakukan dengan fungsi gelombang tersebut, dan sebagainya. Semoga anda semua paham dengan panjelasan saya. Pada pertemuan kali ini (BAB 2) yang berjudul “Persamaan Schroedinger Tidak Bergantung Waktu”, kita akan lebih banyak membahas mengenai solusi persamaan Schrodinger dengan menggunakan metode Separasi Variabel. Bagaimana solusi persamaan Schrodinger pada beberapa fungsi Potensial, seperti sumur potensial tidak berhingga, Osilator Selaras, Kasus Partikel Bebas, dan sebagainya. Apabila anda ingin tahu lebih lanjut mengenai materi ini, silahkan baca lebih lanjut!

BAB 2

PERSAMAAN SHROEDINGER TIDAK BERGANTUNG WAKTU

2.1 Keadaan Stasioner

Pada pertemuan sebelumnya kita telah berbicara banyak mengenai fungsi gelombang dan bagaimana kita menggunakannya untuk menghitung berbagai kuantitas fisis yang ada. Pada saat waktu tercipta, dan akan berjalan maka kita tidak akan bisa untuk menghentikannya. Biasanya pertanyaan yang sering muncul berkaitan dengan fenomena ini adalah: bagaimana cara kita mendapatkan \Psi (x,t) pada waktu pertama kali gelombang tersebut tercipta dan apa yang akan kita lakukan dengan \Psi (x,t) tersebut untuk menyelesaikan persamaan Schroedinger? Sebelum menjawab pertanyaan ini, harus kita tanamkan dalam pikiran kita bahwa potensial[1] V, adalah sebuah kuantitas yang tidak independen terhadap waktu (tidak bergantung waktu). Pada kasus di atas, persamaan Schroedinger dapa diselesaikan dengan menggunakan metode separasi variabel (kebanyakan fisikawan akan menggunakan metode ini jika berhadapan dengan persamaan diferensial terpisah):kita akan membagi solusi persamaan berdasarkan variabelnya.

(2.1)

\Psi (x,t) = \psi (x) f (t)

Di mana \psi (huruf kecil) adalah fungsi x tersendiri dan f adalah fungsi t tersendiri. Tampaknya ini merupakan pembatasan yang mustahil, dan kelihatannya kita tidak bisa berharap banyak dari solusi dengan cara seperti ini. Tapi tunggu dulu, karena solusi yang ditampilkan dalam persamaan 2.1 di atas, menghilangkan banyak langkah-langkah penting, dan nanti pada saatnya kita akan tahu bahwa dengan menggabungkan solusi separasi maka kita akan mendapatkan solusi umunya. Tapi untuk sekarang cukuplah kita tahu bahwa solusi umum dari metode separasi variabel adalah seperti yang ditampilkan dalam persamaan 2.1.

Untuk solusi separabel dapat kita tuliskan:

\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \psi \frac{df}{dt} , \frac{\partial ^{2} \Psi }{\partial x^{2} } = \frac{d^{2} \psi}{dx^{2} } f

Dan persamaan Schroedinger yang telah dibahas pada pertemuan I (persamaan 1.1) berubah menjadi:

i \hbar \psi \frac{df}{dt} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} f + V \psi f

Apabila dibagi dengan \psi f :

(2.2)

i \hbar \frac{1}{f} \frac{df}{dt} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{1}{\psi} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + V

Sekarang, dapat kita lihat pada persamaan 2.2, pada sisi kiri hanya merupakan fungsi t, sedangkan pada sisi kanan hanya merupakan fungsi[2] x, dengan kata lain, persamaan 2.2 hanya akan terpenuhi jika kedua sisinya konstan, maka dengan memvariasi nilai t, kita bisa mengubah nilai pada bagian sisi kiri, tanpa mengubah nilai atau mengganggu sisi kanan, dan keduanya masih tetap konstan. (hal ini merupakan pernyataan yang krusial, jika ini merupakan hal baru bagimu, maka berhentilah sejenak dan pikirkan dengan seksama). Karena mungkin akan dipakai pada beberapa waktu ke depan, selanjutnya kita akan menggunakan simbol E untuk menyebutkan konstanta pada kedua sisi, maka:

i \hbar \frac{1}{f} \frac{df}{dt} = E

atau bisa juga dituliskan:

(2.3)

\frac{df}{dt} = - \frac{iE}{\hbar} f

dan pada sisi kanan

- \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{1}{\psi} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + V = E

atau

(2.4)

- \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + V \psi = E \psi

Separasi variabel telah mengubah persamaan diferensial parsial menjadi dua buah persamaan diferensial orde pertama (persamaan 2.3 dan 2.4). Persamaan 2.3 kelihatan lebih mudah untuk diselesaikan (hanya mengalikannya dengan dt dan mengintegrasikannya), solusi umumnya adalah C exp (iEt/ \hbar) tetapi kita bisa mengabsorbsi C dan memasukkannya ke dalam \psi (selama solusi umumnya adalah produk dari \psi f  maka ini masih berlaku). Oleh karena itu:

(2.5)

i \hbar \frac{1}{f} \frac{df}{dt} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{1}{\psi} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + V

Bagian yang kedua (persamaan 2.4) dinamakan persamaan Shroedinger-tidak bergantung waktu, kita tidak bisa melakukan apa-apa lagi lebih jauh selama kita belum menentukan V dengan lebih spesifik.

Pada bagian ini kita akan menyelesaikan persamaan Shroedinger-tidak bergantung waktu, untuk beberapa potensial yang sederhana, tetapi sebelum kita mencobanya, sebaiknya kita menjawab dulu pertanyaan di bawah ini agar nanti kedapannya kita lebih memahami konsep ini: Apa yang menjadi begitu hebatnya mengenai separasi variabel, tetapi kebanyakan solusi persamaan Schroedinger (khususnya yang bergantung terhadap waktu) tidak menggunakan bentuk \psi (x) f (t) Ada tiga jawaban yang mungkin, salah satunya matematis dan dua lainnya fisis.

1. Solusi separasi merupakan keadaan stasioner, walaupun fungsi gelombang dengan sendirinya:

(2.6)

\Psi (x, t) = \psi (x) e^{-iEt/ \hbar}

Rapat probabilitasnya adalah:

(2.7)

\left | \Psi (x, t) \right | ^{2} = \Psi ^{\ast} \Psi = \psi ^{\ast} (x) e^{+iEt/ \hbar} \psi (x) e^{-iEt/ \hbar} = \left | \psi (x) \right | ^{2}

Dengan sendirinya, kebergantungan terhadap waktu akan menghilang[3]. Hal yang sama terjadi pada perhitungan nilai ekspektasi pada variabel dinamis yang lain, misalnya pada persamaan 1.36 akan menjadi:

(2.8)

\left \langle Q (x, p) \right \rangle = \int \psi ^{\ast} Q \left ( x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \right ) \psi dx

Setiap nilai ekspektasi suatu besaran pastilah akan konstan terhadap waktu, kita mungkin akan menghilangkan begitu saja faktor f(t) dan dengan sederhana menggantikan variabel \Psi dengan \psi . .(ini akan menjadi biasa untuk  merujuk \psi sebagai “fungsi gelombang”, tetapi ini adalah bahasa yang buruk yang dapat mengakibatkan kesalahpahaman, oleh karena itu penting untuk diingat bahwa fungsi gelombang yang sebenarnya selalu melibatkan faktor kebergantungan eksponensial waktu). Dengan demikian, \left \langle x \right \rangle adalah sebuah konstanta, dan oleh sebab itu (persamaan 1.33) p=0 . Tidak akan pernah terjadi pada keadaan stasioner.

2. Solusi separasi merupakan keadaan dari energi total tertentu. Dalam mekanika klasik, energi total (kinetik dan potensial) dinamakan dengan Hamiltonian:

(2.9)

H (x, p) = \frac{p^{2}}{2m} + V(x)

Hubungannya dengan operator Hamiltonian, disebutkan secara lugas dengan substitusi yang telah dijelaskan dalam pertemuan 1 p \rightarrow \left ( \hbar / i \right ) \left ( \partial / \partial x \right ) , oleh karena itu[4]

(2.10)

\hat{H} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} + V(x)

Dengan demikian persamaan Schroedinger tidak bergantung waktu (persamaan 2.4) dapat dituliskan sebagai:

(2.11)

\hat{H} \psi = E \psi

Dan nilai ekspektasi dari energi total adalah

(2.12)

\left \langle H \right \rangle = \int \psi ^{\ast} \hat{H} \psi dx = E \int \left | \psi \right | ^{2} dx = E

(ingat bahwa normalisasi \Psi dapat pula dianggap sebagai normalisasi \psi ), selain itu,

\hat{H} ^{2} \psi = \hat{H} \left ( \hat{H} \psi \right ) = \hat(H) \left ( E \psi \right ) = E \left ( \hat{H} \psi \right ) = E^{2} \psi

Oleh sebab itu,

\left \langle H^{2} \right \rangle = \int \psi ^{\ast} \hat{H} ^{2} \psi dx = E^{2} \int \left | \psi \right | ^{2} dx = E^{2}

Standar deviasi dari H diberikan oleh

(2.13)

\sigma ^{2}_{H} = \left \langle H \right \rangle ^{2} - \left \langle H^{2} \right \rangle = E^{2} - E^{2} = 0

Tetapi ingat, jika \sigma = 0 , maka setiap anggota dari pengukuran sampel harus memberikan nilai yang sama (distribusi memiliki sebaran nol). Kesimpulan: solusi separabel memiliki sifat bahwa setiap pengukuran dari energi total pasti akan menghasilkan nilai E. (itulah mengapa saya pilih tanda tersebut untuk konstanta separasi)

3. Solusi umumnya adalah kombinasi linier dari solusi separasi. Seperti yang telah kita dapatkan sebelumnya, persamaan Schroedinger-tidak bergantung waktu menghasilkan sekumpulan solusi tak hingga ( \psi_{1}(x), \psi_{2}(x), \psi_{3}(x), \cdots ) masing-masing yang berkaitan dengan konstanta separasinya ( E_{1}, E_{2}, E_{3}, \cdots ), dengan demikian terdapat fungsi gelombang yang berbeda-beda yang berhubungan dengan energi-energi yang diijnkannya.

(2.13)

\sigma ^{2}_{H} = \left \langle H \right \rangle ^{2} - \left \langle H^{2} \right \rangle = E^{2} - E^{2} = 0

Sekarang (kita dapat memeriksanya sendiri) bahwa persamaan Schrodinger (bergantung waktu) memiliki sifat-sifat bahwa setiap kombinasi linier[5] dari solusi sebenarnya adalah solusi itu sendiri. Sekali kita mendapatkan solusi separabelnya, maka kita dapat dengan segera bisa membentuk solusi umumnya sesuai dengan bentuk

(2.14)

\Psi (x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi _{n} (x) e^{-iE_{n}t/\hbar}

Dengan demikian, setiap solusi persamaan Schroedinger (bergantung waktu) dapat dituliskan ke dalam bentuk tersebut dan kita dapat dengan mudah menemukan konstanta-konstanta yang benar ( c_{1}, c_{2}, c_{3}, \cdots ) pada saat kita memasukkan kondisi awal pada permasalahan yang kita hadapi. Kita akan melihat bagaimana kerja dari proses yang telah dijelaskan tadi pada beberapa contoh kasus potensial berikut, dan pada pertemuan 3 kita akan mengunakan cara-cara yang lebih elegan, tetapi pada intinya adalah, sekali kita menyelesaiakan persamaan Schroedinger tidak bergantung waktu, sebenarnya tugas kita telah selesai. Membuat solusi umum dengan bantuan persamaan 2.14 adalah sangat mudah dan jelas.


[1] Biasanya ditulis “Fungsi energi potensial”, karena dirasa terlalu penjang penulisannya, maka kebanyakan orang menyingkatnya dengan V, “potensial” walaupun ini dikawatirkan akan mendatangkan salah pengertian dengan potensial listrik karena memiliki simbol yang sama, dengan arti yang sebenarnya adalah energi persatuan muatan.

[2]Ingat bahwa V (Fungsi energi potensial, telah dijelaskan pada catatan kaki sebelumnya) hanya merupakan fungsi x dan bukan merupakan fungsi t, oleh karena itu V indepeden terhadap waktu.

[3]Untuk solusi normalisasi, E harus real.

[4]Untuk selanjutnya, kita akan menggunakan tanda “topi” (^) yang menunjukkan bahwa sombol tersebut adalah sebuah operator yang membedakan dengan variabel dinamis.

[5]Kombinasi linier dari fungsi f_{1}(z), f_{2}(z), \cdots merupakan ekspresi dalam bentuk

f(z) = c_{1}f_{1}(z) + c_{2}f_{2}(z) + \cdots

di mana c_{1}, _{2}, \cdots adalah merupakan sembarang konstanta (kompleks).

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

6 responses to “Keadaan Stasioner (Persamaan Schroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 1)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: