25 January 2010

Persamaan Shroedinger dalam Koordinat Bola (Mekanika kuantum dalam Tiga Dimensi Bagian 1)

By Dedy Kurniawan Setyoko

4.1 Persamaan Shroedinger dalam Koordinat Bola

Perluasan persamaan Shroedinger dalam tiga dimensi dapat kita lakukan secara langsung, di mana persamaan Shroedinger secara umum dapat kita tuliskan:

[4.1]

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = H \Psi

Operator Hamiltonian[1] H diperoleh dari persamaan energi klasik.

\frac{1}{2} m v^{2} + V = \frac{1}{2m} \left ( P_{x}^{2} + P_{y}^{2} + P_{z}^{2} \right ) + V

dengan menggunakan rumusan standar P yang diperluas pada kasus tiga dimensi

[4.2]

P_{x} \Rightarrow \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} , P_{y} \Rightarrow \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} , P_{z} \Rightarrow \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z}

atau lebih singkatnya

[4.3]

P \Rightarrow \frac{\hbar}{i} \nabla

persamaan Shroedinger menjadi:

[4.4]

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} \Psi + V \Psi

di mana

[4.5]

\nabla^{2} \equiv \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

merupakan laplasian pada koordinat kartesian

Energi potensial V dan fungsi gelombang \Psi , dalam koordinat bola kini hanya merupakan fungsi r = \left ( x, y, z \right ) dan t. Probabilitas menemukan partikel pada elemen volume d^{3} r =dx dy dz adalah \left | \Psi \left ( r, t \right ) \right |^{2} d^{3} r , dan normalisasinya adalah:

[4.6]

\int \left | \Psi \right |^{2} d^{3} r = 1

dengan batas integral pada semua ruang (- \infty hingga \infty ). Jika potensial tidak bergantung waktu, maka solusi persamaan Shroedinger untuk keadaan stasioner dalam tiga dimensi adalah

[4.7]

\Psi_{n} \left ( r, t \right ) = \psi_{n} \left ( x \right ) e^{-i E_{n} t / \hbar}

di mana fungsi gelombang spasial \psi_{n} memenuhi persamaan Shroedinger tidak bergantung waktu.

[4.8]

- \frac{\hbar}{2m} \nabla^{2} \psi_{n} + V \psi_{n} = E \psi_{n}

Solusi umum dari persamaan Shroedinger (bergantung waktu) adalah

[4.9]

\Psi \left ( r, t \right ) = \sum c_{n} \psi_{n} \left ( r \right ) e^{-i E_{n} t / \hbar}

dengan kostanta c_{n} yang dihitung dari pemberian fungsi gelombang mula-mula, \Psi \left ( r, 0 \right ) , dengan cara yang seperti biasa kita lakukan pada BAB 2 PERSAMAAN SHROEDINGER TIDAK BERGANTUNG WAKTU. (Jika potensial V merupakan fungsi keadaan kontinu, maka tanda \sum pada persamaan 4.9 menjadi integral.)

Latihan Soal

Soal 4.1(a) Kerjakan aturan relasi komutasi untuk semua komponen operator r dan p: [x,y], [x,P_{y}], [x,p_{x}], [p_{y},p_{z}] dan seterusnya. Jawaban:

[4.10]

[r_{i}, p_{j}] = - [p_{i}, r_{j}] = i \hbar \delta_{ij} , [r_{i}, r_{j}] = [p_{i}, p_{j}] = 0 .

(b) tunjukkan bahwa:
[4.11]

\frac{d}{dt} \left\langle r \right\rangle = \frac{1}{m} \left\langle r \right\rangle , dan \frac{d}{dt} \left\langle p \right\rangle = \left\langle - \nabla V \right\rangle .

(Masing-masing tentunya terdiri dari tiga dimensi, satu untuk masing-masing komponen.)Petunjuk: Ingat bahwa persamaan 3.148 adalah valid untuk tiga dimensi.
(c) Formulasikan prinsip ketidakpastian Heisenberg ke dalam tiga dimensi. Jawaban:
[4.12]

\sigma_{x} \sigma_{p_{x}} \geq \hbar/2 , \sigma_{y} \sigma_{p_{y}} \geq \hbar/2 , \sigma_{z} \sigma_{p_{z}} \geq \hbar/2 ,

tetapi terkecuali pada katakanlah \sigma_{x} \sigma_{p_{y}}
Jika anda berminat untuk menjawab, silahkan anda bisa mengerjakannya dan memberikan hasilnya dengan menuliskannya pada kotak komentar yang pada akhir tulisan ini. Saya harap akan ada interaksi antara saya dengan anda, jawaban anda nantinya akan kita bahas bersama-sama dengan para pembaca lainnya. Jika anda kesulitan untuk menuliskan formula-formula atau persamaan-persamaan, silahkan anda mempelajari bagaimana cara menulis formula tersebut disini

4.1.1 Separasi Variabel

Biasanya, Potensial adalah fungsi yang hanya bergantung pada jarak terhadap titik pusat. Pada kasus ini, baiknya kita menggunakan koordinat bola \left ( r, \theta, \phi \right ) (Lihat gambar 4.1). Pada koordinat bola, bentuk laplasianya adalah[2]:

(4.13)

\nabla^{2}= \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial }{\partial r}\left ( r^{2}\frac{\partial }{\partial r} \right )+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left ( sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta } \right )+\frac{1}{r^{2}sin^{2}\theta }\left ( \frac{\partial^2 }{\partial \phi ^2} \right )

Pada koordinat bola, persamaan schroedinger tidak bergantung waktu dibaca

(4.14)

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left [ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r} \left ( r^{2}\frac{\partial \psi}{\partial r} \right )+\frac{1}{r^{2}sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( sin\theta\frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right )+\frac{1}{r^{2}sin^{2}\theta}\left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi ^2} \right )\right ]+V\psi=E\psi

Sekarang,coba kita cari solusinya dengan menggunakan separasi variabel

(4.15)

\psi\left ( r,\theta,\phi \right )=R\left ( r \right )Y\left ( \theta,\phi \right )

Gambar 4.1: Koordinat Bola (Sferis) dengan jarak r, sudut polar \theta dan sudut azimut \phi .

dengan mengaplikasikan persamaan 4.15 kedalam persamaan 4.14 kita dapatkan

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left [ \frac{Y}{r^{2}}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r} \left ( r^{2}\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} r} \right )+\frac{R}{r^{2}sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta} \right )+\frac{R}{r^{2}sin^{2}\theta}\left ( \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi ^2} \right )\right ]+VRY=ERY

kita bagi dengan YR dan mengalikannya dengan -2mr^{2}/\hbar^{2}

\left \{ \frac{1}{R}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\left ( r^{2}\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} r} \right )-\frac{2mr^{2}}{\hbar^{2}}\left [ V\left ( r \right )-E \right ] \right \}+\frac{1}{Y}\left \{ \frac{1}{sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta} \right )+\frac{1}{sin^{2}\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \psi^2} \right \}=0

rumusan pada kurung kurawal yang pertama hanya bergantung pada r, dimana yang lain bergantung pada \theta dan \phi , dan tentunya masing-masing bentuk rumusan harus konstan. Untuk alasan ini, saya akan memberikan konstanta separasi ke dalam bentuk l\left ( l+1 \right ) [3]:

(4.16)

\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\left ( r^{2}\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} r} \right )-\frac{2mr^{2}}{\hbar^{2}}\left [ V\left (r \right )-E) \right ]=l\left ( l+1 \right )

dan

(4.17)

\frac{1}{Y}\left \{ \frac{1}{sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta} \right )+\frac{1}{sin^{2}\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} \right \}=-l\left ( l+1 \right )

Latihan Soal

Soal 4.2Gunakan separasi variabel dalam koordinat kartesius untuk menyelesaikan dinding kubus tak berhingga (Partikel dalam boks):

V(x, y, z) = \begin{cases} 0 \text{ jika x, y, z semuanya berada diantara 0 dan a } \\ \infty \text{ lainnya } \end{cases}

(a) Carilah fungsi gelombang dan energinya pada keadaan stasioner(b) Sebut saja energinya E_{1}, E_{2}, E_{3}, \cdots , dalam peningkatan energinya. Carilah E_{1}, E_{2}, E_{3}, \cdots, E_{6} . Hitunglah perubahan dari masing-masing energinya.

4.1.2 Persamaan Anguler

Persamaan 4.17 menentukan kebergantungan terhadap \theta dan \phi ; dengan mengalikannya dengan Y sin 2\theta , persamaan 4.17 menjadi

(4.18)

sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta} \right )+\frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}=-l\left ( l+1 \right )sin^{2}\theta Y

kamu mungkin pernah bertemu persamaan ini sebelumnya, yang terdapat pada solusi persamaan Laplace pada elektrodinamika klasik. Seperti biasanya, kita coba dengan separasi variabel

(4.19)

Y\left ( \theta,\phi \right )=\Theta \left ( \theta \right )\Phi \left ( \phi \right )

dengan menggunakan ini dan dibagi dengan \Theta \Phi , kita dapatkan

\left \{ \frac{1}{\Theta }\left [ sin\theta\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}\left ( sin\theta\frac{\mathrm{d} \Theta }{\mathrm{d} \theta} \right )+l\left ( l+1 \right )sin^{2}\theta \right ] \right \}+\frac{1}{\Phi }\frac{\mathrm{d}^2\Phi }{\mathrm{d} \phi^2}=0

Bagian yang pertama hanya merupakan fungsi \theta dan bagian yang kedua merupakan fungsi \Phi , maka masing-masing bagian haruslah konstan. Kali ini sebut saja konstanta separasinya dengan m^{2} [4]:

[4.20]

\frac{1}{\Theta }\left [ sin\theta \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}\left ( sin\theta\frac{\mathrm{d} \Theta }{\mathrm{d}\theta} \right )\right ]+l\left ( l+1 \right )sin^{2} \theta=m^{2}

dan fungsi \phi adalah

[4.21]

\frac{1}{\Phi} \frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}} = - m^{2}

Persamaan 4.21 adalah persamanaan diferensial orde dua yang sederhana, persamaan ini mudah untuk diselesaikan

[4.22]

\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}} = -m^{2} \Phi \Rightarrow \Phi (\phi) e^{i m \phi}

[Sebenarnya terdapat dua solusi untuk persamaan 4.21, i exp \left ( i m \phi \right ) dan i exp \left ( -i m \phi \right ) , tapi ini dapat disiasati dengan memasukkan tanda negatif ke dalam kostanta m (ingat m bisa juga bernilai negatif), Selain itu kita bisa memberikan faktor kontanta di depan solusi, tapi ada cara yang lebih baik, yaitu dengan memasukkannya ke dalam fungsi \Theta . Kebetulan dalam elektrodinamika kita bisa menuliskan fungsi azimut (\Phi ) ke dalam bentuk sin dan cos, dan tentu saja dalam bentuk eksponensial, karena potensial listrik haruslah bernilai real. Mekanika kuantum adalah cabang ilmu fisika yang fleksibel dan fungsi eksponensial cukup mudah untuk bekerja di dalamnya.] Saat \phi berada di 2\pi , maka \phi akan kembali pada posisi semula (\phi = 0 ). Untuk lebih jelasnya bisa kita lihat gambar 4.1. Oleh karena itu, bisa kita tuliskan[5]

[4.23]

\Phi \left ( \phi + 2 \pi \right ) = \Phi \left ( \phi \right )

Dengan kata lain, exp \left [ i m \left ( \phi + 2 \pi \right ) \right ] = exp \left ( i m \phi \right ) , atau exp \left ( 2 \pi i m \right ) = 1 . Dari pernyataan ini, jelaslah dapat dikatakan bahwa m haruslah bernilai integer

[4.24]

m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots

Sedangkakn untuk persamaan \theta ,

[4.25]

sin \theta \frac{d}{d \theta} \left ( sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right ) + \left [ l \left ( l + 1 \right ) sin^{2} \theta - m^{2} \right ] \Theta = 0

yang mungkin kelihatan tidak familiar, persamaan 4.25 adalah persamaan yang sangat sulit untuk diselesaikan, tetapi untuk saat ini cukuplah kita tahu bahwa solusi untuk persamaan tersebut adalah

[4.26]

\Theta \left ( \theta \right ) = A P_{l}^{m} \left ( cos \theta \right )

di mana P_{l}^{m} adalah fungsi Legendre terasosiasi yang didefinisikan oleh[6]

[4.27]

P_{l}^{m} \equiv \left ( 1 - x^{2} \right )^{\left | m \right | / 2} \left ( \frac{d}{dx} \right )^{|m|} P_{l} (x)

p_{l} (x) , adalah polinomial Legendre ke-l. Kita telah membahas ini pada BAB sebelumnya (persamaan 3.91) sebagai polinomial ortogonal pada interval (-1, +1), dan polinomial Legendre di definisikan oleh formula Rodrigues:

[4.28]

P_{l} (x) \equiv \frac{1}{2^{l}l!} \left ( \frac{d}{dx} \right )^{l} \left ( x^{2} -1 \right )^{l}

misalnya,

P_{0} (x) = 1 \\ P_{1} (x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left ( x^{2} - 1 \right ) = 1 \\ P_{3} (x) = \frac{1}{4.2} \left ( \frac{d^{2}}{dx^{2}} \right ) \left ( x^{2} - 1 \right )^{2} = \frac{1}{2} \left ( 3 x^{2} - 1 \right )

dan seterusnya. Beberapa Polinomial Legendre untuk nilai l yang pertama ditampilkan dalam tabel 3.1. Seperti nama yang ditulisnya, P_{l} (x) adalah polinomial (dari sudut l) dalam x, dan apakah genap atau ganjil itu tergantung dari paritas l. Tetapi p_{l}^{m} (x) , secara umum sebenarnya bukanlah merupakan polinomial, jika m ganjil maka akan terdapat faktor \sqrt{1 - x^{2}} :

P_{2}^{0} (x) = \frac{1}{2} \left ( 3 x^{2} - 1 \right ) \\ P_{2}^{1} = \left ( 1 - x^{2} \right )^{1/2} \frac{d}{dx} \left [ \frac{1}{2} \left ( 3 x^{2} - 1 \right ) \right ] = 3x \sqrt{1 - x^{2}} \\ P_{2}^{2} = \left ( 1 - x^{2} \right ) \frac{d}{dx} \left [ \frac{1}{2} \left ( 3 x^{2} - 1 \right ) \right ] = 3x \left ( 1 - x^{2} \right )

dan seterusnya. [Dengan kata lain, apa yang kita butuhkan adalah P_{l}^{m} ( cos \theta ) , dan \sqrt{1 - c0s^{2} \theta} = sin \theta , jadi P_{l}^{m} ( cos \theta ) adalah polinomial yang hanya dalam bentuk cos \theta , apbila m genap maka cos \theta digantikan dengan sin \theta . Beberapa fungsi Legendre terasosiasi pada nilai l yang pertama ditampilkan dalam Tabel 4.1]

Tabel 4.1: Beberapa nilai Fungsi Legendre terasosiasi, P_{l}^{m} (cos \theta) .

Ingat bahwa l haruslah integer yang bukan negatif agar sesuai dengan formula Rodrigues, jika |m| > l , maka persamaan 4.27, P_{l}^{m} = 0 . Untuk setiap nilai l yang diberikan, maka terdapat (2l + 1) nilai m yang mungkin.

[4.29]

l = 0, 1, 2, \cdots \; m = -l, -l + 1, \cdots , -1, 0, 1, \cdots , l - 1, l

Tetapi tunggu dulu, persamaan 4.25 adalah persamaan diferensial orde dua, yang seharusnya memiliki solusi independen linier, untuk setiap nilai l dan m genap. Di manakah semua solusi lainnya? Jawab: Mereka ada tentunya, tetapi hanya sebagai solusi matematis dari persamaan tersebut. Secara fisis, solusi ini tidak diterima karena nilainya menjadi sangat besar (mendekati tak hingga) pada \theta = 0 dan/atau \theta = \pi , dan tidak menghasilkan fungsi gelombang ternormalisasi (Lihat soal 4.4)

Sekarang, coba kita kembali pada koordinat bola, elemen volume pada koordinat bola adalah[7]

[4.30]

d^{3} r = r^{2} sin \theta dr d \theta d \phi

maka, kondisi ternormalisasi (persamaan 4.6) menjadi

\int | \psi |^{2} r^{2} sin \theta d \theta d \phi = \int |R|^{2} r^{2} dr \int |Y|^{2} sin \theta d \theta d \phi

dan sebaiknya untuk menormalisasikannya ke dalam fungsi R dan Y secara terpisah

[4.31]

\int_{0}^{\infty} |R|^{2} r^{2} dr = 1 dan \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} |Y|^{2} sin \theta d \theta d \phi

Fungsi gelombang anguler ternormalisasi[8] dinamakan dengan Spherical harmonis

Tabel 4.2: Beberapa sferical harmonics yang pertama, Y_{l}^{m} (\theta, \phi) .

[4.32]

Y_{l}^{m} (\theta , \phi) = \epsilon \sqrt{\frac{(2l + 1)}{4 \pi} \frac{(l - |m|) !}{l + |m|} !} e^{i m \phi} P_{l}^{m} (cos \theta)

di mana \epsilon = (-1)^{m} untuk m \geq 0 dan \epsilon = 1 untuk m \leq 0 . Persamaan 4.32 juga secara otomatis ortogonal, maka

[4.33]

\int_{0}^{2 \pi} \int _{0}^{\pi} \left [ Y_{l}^{m} (\theta, \phi) \right ]^{\ast} \left [ Y_{l'}^{m'} (\theta, \phi) \right ] sin \theta d \theta d \phi = \delta_{ll'} \delta_{mm'}

Pada tabel 4.2 telah diperlihatkan beberapa nilai spherical harmonis yang pertama.

4.1.3 Persamaan Radial

Ingat bahwa bagian anguler dari fungsi gelombang, Y (\theta, \phi) sama untuk setiap potensial yang simetri secara speris. Bentuk nyata dari potensial, V(r) hanya berpengaruh pada bagain radial dari fungsi gelombang, R(r) yang dijelaskan oleh persamaan 4.16

[4.35]

\frac{d}{dr} \left ( r^{2} \frac{dR}{dr} \right ) - \frac{2mr^{2}}{\hbar^{2}} [V(r) - E] R = l (l + 1) R

Persamaan di atas akan kelihatan lebih sederhana jika kita ubah sedikit variabelnya, misalkan saja:

[4.36]

u(r) \equiv r R(r)

maka dari itu, R = u/r , dR/r = [r (du/dr) - u]/r^{2} , (d/dr) [r^{2} (dR/dr)] = r d^{2}u/dr^{2} , karena itu:

[4.37]

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + \left [ V + \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{l (l+1)}{r^{2}} \right ] u = E u

Persamaan 4.37 dinamakan dengan persamaan radial[9], yang bentuknya indentik dengan persamaan Shroedinger satu dimensi (Persamaan 2.4), kecuali bentuk potensial efektifnya

[4.38]

V_{eff} = V + \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{l(l+1)}{r^{2}}

Veff mengandung sedikit bagian ekstra, yang dinamakan dengan bagian centrifugal, (\hbar^{2}/2m)[l(l+1)/r^{2}] . Bagian centrifugal ini cenderung untuk melempar partikel keluar (dari titik pusat), seperti gaya sentrifugal (semi sentrifugal) dalam mekanika klasik. Sementara itu, kondisi normalisasi (persamaan 4.31) menjadi:

[4.39]

\int_{0}^{\infty} |u|^{2} dr = 1

Kita tidak bisa memprosesnya lebih lanjut sebelum diberikan potensial yang spesifik.

ContohBerdasarkan pada dinding potensial tak berhingga.

[4.40]

V(r) = \begin{cases} 0 \text{ jika } r < a \\ \infty \text{ jika } r > a \end{cases}

Di luar dinding potensial fungsi gelombang adalah nol, di dalam dinding potensial persamaan radial diberikan oleh:

[4.41]

\frac{d^{2} u}{dr^{2}} = \left [ \frac{l(l+1)}{r^{2}} - k^{2} \right ] u

di mana

[4.42]

k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

sama seperti biasa yang kita lakukan, permasalahan kita adalah untuk menyelesaikan persamaan 4.41, dengan memasukkan syarat batas u(a) = 0, dan untuk kasus l=0 adalah mudah:

\frac{d^{2} u}{dr^{2}} = - k^{2} u \Rightarrow u(r) = A sin (kr) + B sin (kr)

Tetapi kita harus ingat bahwa fungsi radial yang sebenarnya adalah R(r) = u(r)/r , dan [cos(kr)]/r bernilai sangat besar ketika r \rightarrow 0 . Maka kita harus memilih B=0[10]. Dari syarat batas tersebut kita dapatkan sin (ka) = 0 , maka dari itu, ka = n \pi untuk setiap nilai n integer, dengan jelas energi yang diijinkan adalah

[4.41]

E_{0} = \frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2ma^{a}} , dengan n = 1, 2, 3, \cdots

di mana hasil yang kita peroleh ini sama dengan apa yang ada pada sumur potensial tak berhingga satu dimensi (persamaan 2.23). Dengan menormalisasikan u(r) menghasilkan A = \sqrt{2/a} , dengan memasukkan bagian anguler (konstan, selama Y_{0}^{0} (\theta, \phi) = 1/\sqrt{4 \pi} ) kita setuju bahwa

[4.44]

\psi_{n00} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi a}} \frac{sin (n \pi r / a)}{r}

[Ingat bahwa keadaan stasioner mengandung tiga bilangan kuantum, n, l, dan m: \psi_{nlm} (r, \theta, \phi) . Energi hanya tergantung pada n dan l: E_{nl} ]

Solusi umum dari persamaan 4.41 (untuk sembarang nilai l integer) kelihatan tidak familiar di mata kita

[4.45]

u(r) = Arj_{l}(kr) + Brn_{l}(kr)

di mana j_{l} adalah fungsi Bessel sferis untuk orde l, dan n_{l} adalah fungsi Neumann sferis untuk orde l. Keduanya didefinisikan seperti di bawah ini

[4.46]

J_{l} (x) \equiv (-x)^{l} \left ( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right )^{l} \frac{sin x}{x} ; dan n_{l} \equiv -(-x)^{l} \left ( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right )^{l} \frac{cos x}{x}

sebagai contoh

j_{0}(x) = \frac{sin x}{x} ; n_{0}(x) = -\frac{cos x}{x} ;

j_{1}(x) = (-x) \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left ( \frac{sin x}{x} \right ) = \frac{sin x}{x^{2}} - \frac{cos x}{x} ;

j_{1}(x) = - (-x) \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left ( \frac{cos x}{x} \right ) = - \frac{cos x}{x^{2}} - \frac{sin x}{x} ;

dan seterusnya. Fungsi Bessel dan Neumann sferis untuk beberapa nilai l yang pertama dapat dilihat dalam tabel 4.3. Ingat bahwa untuk nilai x yang kecil (di mana sin x \approx x - x^{3} / 3! + x^{5}/5! - \cdots dan cos x \approx 1 - x^{2} / 2! + x^{4}/4! - \cdots ),

j_{0}(x) \approx 1 ; n_{0}(x) \approx \frac{1}{x} ; j_{1}(x) \approx \frac{x}{3} ; n_{1}(x) \approx - \frac{1}{x^{2}} ;

Tabel 4.3: Beberapa nilai Fungsi Bessel dan Neumann yang pertama, j_{l} (x) dan n_{l}(x) .

dan lainnya. Intinya adalah bahwa fungsi Bessel nilainya terhingga pada titik pusat sedangkan fungsi Neumann nilainya menjadi tak terhingga pada titik pusat (x =0). Berdasarkan fakta ini, kita harus memutuskan kalau B_{l} = 0 , maka dari itu

[4.47]

R(r) = Aj_{l}(kr)

Jika kita kembali pada syarat batas, R(a) = 0 . Dengan jelas bahwa k harus dipilih sesuai dengan

[4.48]

j_{l}(ka) = 0

di mana, ka bernilai nol untuk fungsi Bessel sferis orde ke-l. Sekarang fungsi Bessel berosilasi (lihat gambar 4.2), masing-masing memiliki nilai nol yang tak berhingga. Tetapi (untungnya bagi kita) itu tidak terlokalisasi pada poin-poin yang penting (seperti pada n, atau n \pi atau yang lainnya), dan ini harus dihitung secara numerik dengan bantuan komputer.[11]Pada setiap nilainya, syarat batas yang harus dipenuhi adalah

[4.49]

k = \frac{1}{a} \beta_{nl} ,

Gambar 4.2: Grafik beberapa fungsi Bessel sferis.

di mana \beta_{nl} adalah nol yang ke-n pada fungsi Bessel sferis yang ke-l. Energi yang diijinkan diberikan oleh

[4.50]

E_{nl} = \frac{\hbar^{2}}{2ma^{a}} \beta_{nl}^{2} ,

dan fungsi gelombangnya adalah

[4.51]

\psi_{nlm}(r, \theta, \phi) = A_{nl}j_{l}(\beta_{nl}r/a) Y_{l}^{m}(\theta, \phi)

[1] Mungkin di sini akan terjadi kebingungan, sebelumnya saya menggunakan tanda “topi” untuk membedakan dengan observabel klasik. Tetapi saya tidak mengira hal itu akan menjadi embigu pada Bab kali ini, dan tanda “topi” tersebut menjadi tidak praktis untuk digunakan, oleh karena itu mulai dari sekarang saya akan menghilangkan tanda “topi” tersebut.

[2]Pada prinsipnya, ini dapat didapatkan dengan mengubah variabel dari ekspresi kartesian (Persamaan 4.5). Bagaimana juga, terdapat cara yang lebih efisien, lihatlah buku M.Boas,Mathematical Methods in the Physicaj Science,2nd ed. (New York:John Wiley and Sons,Inc.,1983) chapter 10 section 9

[3]Catatan:Kali ini tidak sembarangan dengan menuliskan konstanta separasi l bisa berupa bilangan kompleks. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa l harus berupa integral. Oleh karena itu,untuk mengantisipasi hal ini, saya mengekspresikan konstanta seperti dengan cara yang kelihatan agak aneh

[4]Sekali lagi, tidak ada unsur sembarangan dalam menuliskan konstanta separasi, walaupun m harus berupa integral. Hati-hati: sombol m sekarang terdapat makna ganda, massa dan sekarang yang dinamakan dengan bilangan kuantum magnetik. tapi saya rasa tidak bijaksana kalau kita mengabaikan hal ini,karena keduanya merupakan simbol yang standar. Beberapa penulis mengganti dengan M untuk bilangan kuantum magnetik dan \mu untuk massa.

[5]Ini lebih sulit untuk dipahai dari pada apa yang kita lihat. Setelah semuanya, rapat probabilitas (\left | \Phi \right |^{2} ) adalah nilai tunggal yang tergantung pada m. Pada sesi 4.3 akan diberikan kondisi pada m yang benar-benar berbeda dan dengan argumen yang lebih mendalam.

[6]Ingat bahwa P_{l}^{-m} = p_{l}^{m} karene tanda me selalu berada dalam tanda mutlak.

[7]Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat Boas (catatan kaki 2), BAB 5 Sesi 4.

[8]Faktor normalisasi didapatkan dari soal 4.47. Faktor \epsilon dipilih untuk konsistensi dengan notasi yang akan kita gunakan dalam teori momentum anguler dan ini merupakan standar yang cukup beralasan, walaupun beberapa buku yang lebih lama menggunkan konvensi yang lama. Ingat bahwa:

Y_{l}^{-m} = (-1)^{m} Y_{l}^{m}

[9]Simbol m disini menunjukkan massa, tentunya kita tidak akan menemukan bilangan kuantum m dalam persamaan Radial.

[10]Sebenarnya, semua yang kita butuhkan adalah bahwa fungsi gelombang haruslah ternormalisasi,bukan hanya yang terbatas pada R(r) \propto 1/r pada titik pusat seharusnya ternormalisasi (karena faktor r^{2} dalam persamaan 4.31). Untuk bukti yang lebih jelas bahwa B=0, lihat R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (New York: Plenum, 1980), halaman 351.

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko
This entry was posted on Monday, January 25th, 2010 at 16:10 and tagged with , , and posted in Mekanika kuantum. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed.

14 responses to “Persamaan Shroedinger dalam Koordinat Bola (Mekanika kuantum dalam Tiga Dimensi Bagian 1)”

Leave a comment