Partikel Bebas (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 4)


2.4 Partikel Bebas


Telah sampailah kita pada apa yang seharusnya menjadi kasus yang paling sederhana dari semua yang telah kita pelajari, partikel bebas [V(x) = 0 di manapun]. Seperti apa yang telah kita lihat baru saja, kasus partikel bebas ini cukup aneh bagi kita. Oleh karena itu, persamaan Shroedinger menjadi

[2.74]

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E\psi ,

atau

[2.75]

\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -k^{2} \psi di mana k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} .

Sejauh ini kelihatan sama dengan yang di dalam sumur potensial tak berhingga (Persamaan 2.17), di mana potensialnya juga nol, kali ini, saya lebih suka untuk menuliskan solusi umumnya dalam bentuk eksponensial (sebagai ganti dari sin dan cos) untuk alasan bahwa ini akan serupa dengan apa yang biasa kita lakukan:

[2.76]

\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} .

Tidak seperti pada sumur potensial tak berhingga, di sini tidak terdapat syarat batas yang membatasi nilai k yang memungkinkan (dan juga E tentunya), partikel bebas bisa membawa sembarang energi (positif). Berdasarkan pada standard kebergantungan waktu exp(-iEt/\hbar) ,

[2.77]

\Psi(x,t) = Ae^{ik(x - \frac{\hbar k}{2m}t)} + Be^{-ik(x + \frac{\hbar k}{2m}t)} ,

Sekarang, setiap fungsi x dan t yang bergantung pada variabel tersebut dalam kombinasi khusus (x \pm vt) (untuk suatu nilai v konstan) yang merepresentasikan profil gelombang, merambat pada arah \mp x dengan kecepatan v . Suatu titik tertentu pada bentuk gelombang (misalnya pada titik maksimum atau titik minimum) yang berhubungan dengan nilai-nilai tertentu dan juga pada nilai x dan t , maka

x \pm vt = konstanta , atau x = \mp vt + konstanta ,

adalah formula untuk gerak pada arah \mp x dengan kecepatan v . Selama setiap titik dalam bentuk gelombang bergerak bersama dengan kecepatan yang sama, maka bentuknya tidak akan berubah selama merambat. Dengan demikian, bagian pertama dalam Persamaan 2.77 merepresentasikan gelombang yang merambat ke kanan, dan bagian yang kedua merepresentasikan gelombang (dengan energi yang sama) yang merambat ke kiri. Oleh karena itu, selama arah perambatannya hanya dibedakan oleh tanda di depan k, kita mungkin bisa menuliskannya sebagai

[2.78]

\Psi_{k}(x,t) = Ae^{i(kx - \frac{\hbar \hbar k^{2}}{2m}t)} ,

dan bila k negatif maka itu menandakan bahwa gelombang bergerak ke kiri:

[2.79]

k \equiv \pm \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} , dengan \begin{cases} k>0 \Rightarrow \text{merambat ke kanan,} \\ k<0 \Rightarrow \text{merambat ke kiri.} \end{cases}

Kecepatan dari gelombang (koefisien di antara t dan x) adalah

[2.80]

v_{kuantum} = \frac{\hbar |k|}{2m} = \sqrt{\frac{E}{2m}} .

Tetapi di lain pihak, kecepatan klasik partikel bebas dengan energi E diberikan oleh E = (1/2)mv^{2} (murni hanya kinetik, karena V=0), maka

[2.81]

v_{klasik} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = 2v_{kuantum} .

Dengan jelas bahwa fungsi gelombang mekanika kuantum merambat dengan kecepatan setengah dari partikelnya, hingga saat ini pernyataan tersebut masih benar. Tetapi kita akan kembali pada paradok ini sebentar lagi, ada permasalahan lain yang bahkan lebih penting yang harus kita hadapi pertama kali: Fungsi gelombang ini tidak ternormalisasi! Untuk itu

[2.82]

\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_{k}^{\ast} \Psi_{k} dx = |A|^{2} \int_{-\infty}^{+\infty} 1 dx = |A|^{2} (\infty) .

Pada kasus partikel bebas, solusi separasi tidak merepresentasikan keadaan fisis yang sebenarnya. Partikel bebas tidak dapat berada dalam keadaan stasioner, atau kita bisa menggunakan kata-kata lain, tidak ada materi apapun seperti partikel bebas dengan energi yang tertentu.

Tetapi ini tidak berarti bahwa solusi separasi tidak berguna untuk kita. Oleh karena solusi separasi memainkan aturan matematis yang seluruhnya tidak bergantung pada interpretasi fisisnya: Solusi umum dari persamaaan Shroedinger bergantung waktu masih merupakan kombinasi liner dari solusi separasi (hanya kali ini integralnya terhadap variable kontinu k, sebagai ganti dari penjumlahan pada indeks diskret n):

[2.83]

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k) e^{i(kx - \frac{\hbar \hbar k^{2}}{2m}t)} dk .

[kuantitas \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} adalah faktor dari convenience, yang memainkan aturan dari koefisien c_{n} dalam Persamaan 2.14 adalah kombinasi dari (1/\sqrt{2 \pi}) \phi(k) dk .] Sekarang fungsi gelombangnya dapat dinormalisasikan [untuk \phi(k) lebih tepatnya]. Tetapi perlu mengunakan range k dan juga range energi dan kecepatan. Oleh karena itu, kita namakan ini dengan Paket Gelombang.

Dalam permasalahan kuantum, ketika kita diberikan \Psi(x,o) , maka kita akan dapat menemukan \Psi(x,t) (Untuk mengingat-ingat lagi silahkan baca Keadaan Stasioner (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 1)). Untuk partikel bebas, solusinya memiliki bentuk seperti Persamaan 2.83, pertanyaan yang kembali dipertanyakan adalah bagaimana menentukan \phi(k) dengan cara yang sama diberikan fungsi gelombang awal:

[2.84]

\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k) e^{ikx} dk .

Ini adalah permasalahan klasik dalam analisis fourier, jawabannya disajikan oleh teorema Plancherel:

[2.85]

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(k) e^{ikx} dk \Leftrightarrow F(k) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ikx} dx .

F(k) dinamakan dengan transformasi Fourier dari f(x) , dan f(x) dinamakan dengan invers transformasi Fourier dari F(k) (perbedaannya hanya terletak pada tanda di dalam eksponensial). Tentunya terdapat syarat-syarat tertentu untuk fungsi yang diijinkan: Integralnya haruslah ada[22]. Untuk tujuan kita, ini dijamin oleh syarat fisis bahwa \Psi(x,0) dengan sendirinya ternormalisasi. Maka solusi dari permasalahan kuantum untuk partikel bebas adalah Persamaan 2.83, dengan

[2.86]

\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x,0) e^{-ikx} dx .

Sebenarnya saya lebih suka untuk memberikan sebuah contoh padamu, dimulai dengan fungsi spesifik \Psi(x,0) dimana kita dapat menghitung nilai \phi(k) yang sebenarnya, dan kemudian mengerjakan integral dalam Persamaan 2.83 untuk mendapatkan \Psi(x,t) secara utuh. Tetapi sayangnya, kasus dengan bentuk yang teratur sangat sulit untuk dibuat, maka saya ingin menyimpan contoh ini dan ingin untuk kalian mengerjakannya sendiri.

Sekarang marilah kita kembali pada paradok yang telah kita perhatikan sebelumnya, fakta bahwa solusi separasi \Psi_{k}(x,t) merambat pada kecepatan yang “salah” untuk partikel, itu tidak merepresentasikan kejadian yang sebenarnya. Sebuah perkataan yang “kasar”, bahwa permasalahan yang muncul ketika kita menemukan \Psi_{k} sebenarnya merupakan keadaan yang tidak dapat diterima secara fisis. Bagaimanapun juga ini menarik untuk dicari tahum, bagaimana informasi yang berkaitan dengan kecepatan partikel dibawa oleh fungsi gelombang (Persamaan 2.83). Gagasan utamanya adalah: Paket gelombang adalah fungsi sinusoidal di mana amplitudonya termodualasi oleh \phi (Gambar 2.6); yang terdiri dari “riak” yang berada di dalam “sampul”. Apa yang berhubungan dengan kecepatan partikel bukanlah kecepatan dari riak secara individu (yang dinamakan dengan kecepatan fase), tetapi merupakan kecepatan sampul (kecepatan grup), yang tergantung pada sifat alami dari gelombang, bisa lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan kecepatan riaknya. Untuk gelombang pada tali, kecepatan grup sama dengan kecepatan fase. Untuk gelombang air adalah setengah dari kecepatan fase, seperti yang mungkin kamu ingat ketika kamu melemparkan batu pada sebuah kolam air: jika kamu memperhatikan riak, kamu akan melihat riak akan terbentuk dari bagian belakang, bergerak ke depan melewati grup dan lama-lama pudar di bagian depan, sementara itu, grup secara keseluruhan merambat dengan kecepatan setengahnya. Apa yang ingin saya tunjukkan adalah bahwa untuk partikel bebas dalam mekanika kuantum, kecepatan grupnya dua kali dari kecepatan fase, hal ini dimaksudkan untuk merepresentasikan kecepatan partikel klasik.

Gambar 2.6 : Sebuah paket gelombang. “sampulnya” merambat pada kecepatan grup, “riaknya” merambat pada kecepatan fase.

Permasalahannya kemudian adalah untuk menentukan kecepatan grup paket gelombang dengan bentuk umumnya

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k) e^{i(kx-\omega t)} dk .

[Dalam kasus ini \omega = (\hbar k^{2}/2m) , tetapi apa yang saya katakan tersebut dapat diaplikasikan pada semua jenis paket gelombang, tanpa memperhatikan relasi dispersinya-formula \omega sebagai fungsi dari k .] Marilah kita asumsikan bahwa \phi(k)s=-2 $ berada di sekitar nilai k_{0} . [Tidak ada yang salah mengenai penyebaran k yang lebar, tetapi untuk paket gelombang, perubahan bentuk dengan cepat (selama komponen yang berbeda merambat pada kecepatan yang berbeda), akan menyebabkan kerugian yang berarti.] Selama integrannya dapat diabaikan kecuali di sekitar k_{0} , kita bisa menggunakan ekspansi Taylor untuk fungsi \omega(k) pada titik tersebut dan mengambil hanya bagian yang utama:

\omega(k) \cong \omega_{0} + \omega_{0}^{'} (k-k_{0}) ,

di mana \omega_{0}^{'} adalah turunan \omega terhadap k , pada titik k_{0} .

Dengan mengubah variabel dari k menjadi s \equiv k-k_{0} , pusat integral pada k_{0} , kita dapatkan

\Psi(x,t) \cong \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k_{0} + s) e^{i((k_{0}+s)x-(\omega_{0} + \omega_{0}^{'} )t)} ds .

Pada t=0 .

\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k_{0} + s) e^{i(k_{0}+s)x} ds .

dan pada akhir waktu

\Psi(x,t) \cong \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i(-\omega_{0}t + k_{0}\omega_{0}^{'}t)} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k_{0} + s) e^{i(k_{0}+s)(x-\omega_{0}^{'}t)} ds .

Kecuali untuk pergeseran dari x ke (x-\omega_{0}^{'}t) , integral ini adalah sama dengan integral yang berada di atasnya dalam bentuk \Psi(x,0) . Maka dari itu

[2.87]

\Psi(x,t) \cong \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i(-\omega_{0}t + k_{0}\omega_{0}^{'}t)} \Psi(x-\omega_{0}^{'}t, 0) .

Terpisah dari faktor fasa yang berada di depan (yang tidak akan mempengaruhi |\Psi|^{2} pada setiap waktu), paket gelombang dengan jelas bergerak dengan kecepatan

[2.88]

v_{grup} = \frac{d \omega}{dk}

(dengan menganggap k=k_{0} ), yang sangat berbeda dengan kecepatan fasa

[2.89]

v_{fasa} = \frac{\omega}{k} .

Dalam kasus ini, \omega = (\hbar k^{2}/2m) , maka \frac{\omega}{k} = (\hbar k / 2m) , di mana d \omega / dk = (\hbar k/2m) , yang berarti bahwa kecepatan grupnya dua kali kecepatan fasa. Ini menegaskan bahwa kecepatan grup paket gelombang bukanlah kecepatan fasa dari keadaan stasioner, yang sesuai dengan kecepatan partikel klasik:

[2.90]

v_{klasik} = v_{grup} = 2v_{fasa} .


[22]Keperluan dan kondisi yang cukup pada f(x) adalah bahwa \int_{-infty}^{+\infty} |f(x)|^{2} dx haruslah terbatas. (Pada kasus \int{-\infty}^{+\infty} |F(k)|^{2} dk juga terbatas, dan faktanya bahwa kedua integralnya adalah sama.) Lihatlah Arfken (catatan kaki 15), subbab 15.5

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

4 responses to “Partikel Bebas (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 4)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: