Produk Inner (Perumusan Matematika dalam Mekanika Kuantum bagian 2)


3.1.2. Produk Inner

Dalam perkalian vektor tiga dimensi kita mempunyai dua jenis produk vektor: perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Bagian terakhir menghasilkan vektor ruang dalam n-dimensi, sedangkan yang pertama hanya menghasilkan skalar, dan dalam konteks ini biasanya dinamakan dengan produk inner[1]. Produk inner dari dua vektor (\left|\alpha\right\rangle dan \left|\beta\right\rangle ) adalah bilangan kompleks (yang dapat kita tuliskan sebagai (\left \langle \alpha | \beta \right \rangle )), dengan sifat-sifat seperti di bawah ini:

[3.19]

\left \langle \beta | \alpha \right \rangle = \left\langle \alpha | \beta \right\rangle^{\ast} ,

selain itu juga memiliki sifat,

[3.20]

\left\langle \alpha | \alpha \right\rangle \geq 0 , dan \left \langle \alpha | \alpha \right \rangle = 0 \Leftrightarrow \left| \alpha \right\rangle = \left| 0 \right\rangle ,

dan juga

[3.21]

\left\langle \alpha \right| \left( b|\beta + c|\gamma \right) = b \left\langle \alpha | \beta \right\rangle + c \left\langle \alpha | \gamma \right\rangle .

Terpisah dari perluasan pada bilangan kompleks, aksioma ini sebenarnya merupakan modifikasi sederhana dari sifat-sifat perkalian titik. Ruang vektor dengan sebuah produk inner dinamakan dengan ruang produk inner.

Karena produk inner dari suatu vektor dengan dirinya sendiri adalah bilangan bukan negatif (Persamaan 3.20), maka akarnya adalah bilangan real, kita namakan ini dengan normal dari vektor:

[3.22]

\left \| \alpha \right \| \equiv \sqrt{\left\langle \alpha | \alpha \right\rangle} ;

yang merupakan perluasan dari istilah “panjang”. Vektor “satuan”, yang normalnya adalah 1, dikatakan ternormalisasi (penggunaan kata yang tepat seharusnya adalah “normal”, tetapi saya kira nanti akan terdengar aneh). Dua buah vektor yang produk inner-nya adalah nol dikatakan ortogonal (perluasan dari istilah “perpendikular”). Sekumpulan vektor ternormalisasi secara ortogonal,

[3.23]

\left\langle \alpha_{i} | \alpha_{j} \right\rangle = \delta_{ij} ,

dikatakan suatu set ortonormal. Itu selalu mungkin dan hampir tepat, untuk memilih basis ortonormal, dalam kasus tersebut produk inner dari dua vektor dapat ditulis dengan sangat rapi dalam bentuk komponen-komponennya:

[3.24]

\left\langle \alpha | \beta \right\rangle = a^{\ast}_{1} b_{1} + a^{\ast}_{2} b_{2} + \cdots + a^{\ast}_{n} b_{n} ,

normal(kuadrat)nya menjadi

[3.25]

\left\langle \alpha | \alpha \right\rangle = \left| a_{1} \right|^{2} + \left| a_{2} \right|^{2} + \cdots + \left| a_{n} \right|^{2} ,

dan komponen vektornya, dengan sendirinya adalah

[3.24]

a_{i} = \left\langle e_{i} | \alpha \right\rangle .

(Rumusan tersebut memperluas rumusan yang sudah lazim kita kenal \bold{a} \cdot \bold{b} = a_{x}b_{x} + a_{y}b_{y} + a_{z}b_{z} , \bold{a} \cdot \bold{a} = a^{2}_{x} + a^{2}_{y} + a^{2}_{z} , dan a_{x} = \hat{i} \cdot \bold{a}, a_{y} = \hat{j} \cdot \bold{a}, a_{k} = \hat{k} \cdot \bold{a} , untuk basis ortonormal tiga dimensi \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} .) Untuk sekarang, sebaiknya kita bekerja dengan basis ortonormal kecuali kalau diindikasikan secara eksplisit yang sebaliknya.

Kuantitas geometrikal lainnya yang mungkin diharapkan untuk diperluas adalah sudut diantara dua buah vektor. Dalam analisis vektor biasa, \sin{\theta} = \left( \bold{a} \cdot \bold{b} \right)/ \left| a \right| \left| b \right| . Tetapi karena produk inner secara umum adalah bilangan komplek, analogi rumusan (pada sembarang ruang produk inner) tidaklah mendefinisikan sudut \theta (sebenarnya). Bagaimanapun juga, masih dianggap benar bahwa nilai absolut dari kuantitas ini adalah bilangan yang tak lebih besar dari pada 1,

[3.27]

\left| \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \right|^{2} \leq \left\langle \alpha | \alpha \right\rangle \left\langle \beta | \beta \right\rangle .

(Hasil penting ini dinamakan dengan Ketidaksamaan Schwarz; yang buktinya dapat kita lihat pada soal 3.5.) Jadi kalau kita mau, kita bisa mendefinisikan sudut diantara \left|\alpha\right\rangle dan \left|\beta\right\rangle dengan menggunakan rumusan

[3.28]

\cos{\theta} = \sqrt{\frac{\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \left\langle \beta | \alpha \right\rangle}{\left\langle \alpha | \alpha \right\rangle \left\langle \beta | \beta \right\rangle}} .


[1]Penulis kurang tahu apakah penggunaan kata produk inner di sini sudah baku dalam tata bahasa Indonesia, karena kalau menggunakan bahasa serapan yang ada di laman pusat bahasa kemendiknas, istilah tersebut menjadi aneh,  misalnya darab dalam, darab inti, sehingga penulis mengambil inisiatif untuk menggunakan istilah produk inner yang dirasa lebih cocok. Istilah produk inner di sini diambil dari istilah dalam bahasa Inggris, Inner Product.

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

4 responses to “Produk Inner (Perumusan Matematika dalam Mekanika Kuantum bagian 2)

  • ARIEF PRIYADI

    Selamat malam,
    Untuk Fotocopy dikerjakan seluruhnya dan dikumpulkan selasa ini?

    • Dedy Kurniawan Setyoko

      malam mas arief,

      dikerjakan hanya 5 saja mas, dicari diantara soal-soal tersebut yang paling mudah.
      harusnya dikumpulkan selasa tadi.

  • Herry PS

    Salam kenal pak Dedy, saya tidak sengaja mampir ke blog ini. Memang istilah-istilah matematika banyak yang telah dibakukan dan tercantum dalam kamus pusat bahasa dsb, seperti darab inti, fungsi malar, dsb. Tetapi di kalangan matematikawan (Indonesia) sedikit sekali yang menggunakan istilah-istilah tersebut. Sebagian besar tetap menggunakan istilah-istilah populer yang telah biasa digunakan, sebagai contoh hasilkali dalam untuk inner product, fungsi kontinu untuk continuous function, himpunan ortonormal untuk orthonormal set, norma (bukan normal) untuk norm, gelanggang komutatif untuk commutative ring, dsb.

    Saya saat ini sedang mencoba mempelajari mekanika kuantum, walaupun area penelitian saya di matematika murni (analisis fungsional) tetapi banyak terkait dengan penerapan di fisika seperti integral lintasan Feynman dan model polimer Edwards.

    • Dedy Kurniawan Setyoko

      Salam kenal balik, tapi sebaiknya jangan dipanggil dengan sebutan bapak, cukup dipanggil dengan sebutan mas saja..he he he. Biar enggak kelihatan tua, toh kita berdua juga masih berstatus mahasiswa. iya kan? {berharap masih muda nih..}
      Iya nih mas Herry (Saya panggil dengan sebutan mas Herry enggak apa kan?). Saya merasa kesulitan untuk menggunakan istilah bahasa Indonesia untuk menggunakan istilah-istilah yang lazim digunakan dalan bahasa matematika internasional. Kalau saya paksakan untuk menggunakan bahasa Indonesia, istilah tersebut menjadi aneh. Tetapi ini bukan berarti kita tidak cinta berbahasa Indonesia, namun perapannya saja yang belum sesuai dengan kaidah bahasa matematika (wah apa ini, kaidah…he he he).

      Apa yang mas herry pelajari itu sangat bagus, karena kalau kita hanya belajar matematika nanti kita tidak tahu ilmu matematika yang kita pelajari ini buat apa manfaatnya. Sehingga kalau kita mempelajari ilmu lain dan menerapkan ilmu matematika yang kita pelajari itu akan menjadi lebih bagus, dan tidak menutup kemungkinan ilmu matematika yang kita miliki akan bertambah.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: