Aljabar Linier (Perumusan Matematika dalam Mekanika Kuantum bagian 1)


3.1. Aljabar Linier

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Tujuan dari bab ini adalah untuk mengembangkan perumusan dari mekanika kuantum, diantaranya terminologi, notasi, dan latar belakang matematis yang menjelaskan struktur teori, memfasilitasi perhitungan praktis, dan memotivasi perkembangan fundamental dari interpretasi statistik. Marilah Kita mulai dengan pengenalan singkat mengenai linier aljabar.[1] Ringkasan aljabar linier dan perluasan aritmetik dari vektor, seperti yang telah kita dapatkan dalam tahun-tahun pertama kuliah S1. Perluasannya dalam dua arah: (1) Kita membolehkan perluasan dari skalar menjadi kompleks, dan (2) Kita tidak membatasi vektor hanya pada tiga dimensi (tentunya, dalam subbab 3.2 kita akan bekerja dengan vektor yang berada pada ruang dengan dimensi tak hingga).

3.1.1. Vektor

Ruang Vektor terdiri dari satu set vektor \left|\alpha\right\rangle, \left|\beta\right\rangle, \left|\gamma\right\rangle, \cdots , bersama dengan satu set skalarnya (a,b,c,…),[2] di mana dapat dilakukan dua macam operasi vektor, penjumlahan dan perkalian vektor:

Penjumlahan vektor. Jumlah dari dua buah vektor adalah sebuah vektor:

[3.1]

\left|\alpha\right\rangle + \left|\beta\right\rangle = \left|\gamma\right\rangle .

Penjumlahan vektor bersifat komutatif

[3.2]

\left|\alpha\right\rangle + \left|\beta\right\rangle = \left|\beta\right\rangle + \left|\alpha\right\rangle .

Dan juga bersifat asosiatif

[3.3]

\left|\alpha\right\rangle + \left ( \left|\beta\right\rangle + \left|\gamma\right\rangle \right ) = \left ( \left|\alpha\right\rangle + \left|\beta\right\rangle \right ) + \left|\gamma\right\rangle .

Terdapat juga vektor nol[3] (atau null), \left| 0 \right\rangle , dengan sifat bahwa

[3.4]

\left|\alpha\right\rangle + \left| 0 \right\rangle = \left|\alpha\right\rangle ,

untuk setiap vektor \left|\alpha\right\rangle . Dan untuk setiap vektor \left|\alpha\right\rangle terdapat vektor invers terasosiasi (\left| - \alpha\right\rangle ), sehingga

[3.5]

\left|\alpha\right\rangle + \left| - \alpha \right\rangle = \left| 0 \right\rangle .

Perkalian skalar. “Produk” dari setiap skalar dengan suatu vektor adalah vektor:

[3.6]

a \left|\alpha\right\rangle = \left|\gamma\right\rangle .

Perkalian skalar bersifat distributif yang berhubungan dengan penjumlahan vektor

[3.7]

a \left ( \left|\alpha\right\rangle + \left|\beta\right\rangle \right ) = a \left|\alpha\right\rangle + a \left|\beta\right\rangle .

dan dalam hubungannya dengan penjumlahan skalar

[3.8]

\left ( a + b \right ) \left|\alpha\right\rangle = a \left|\alpha\right\rangle + b \left|\alpha\right\rangle .

Perkalian skalar juga berlaku asosiatif dalam hubungannya dengan perkalian skalar biasa

[3.9]

a \left ( b \left|\alpha\right\rangle \right ) = \left ( a b \right ) \left|\alpha\right\rangle .

Perkalian dengan skalar 0 dan 1 memiliki efek pada nilai yang diharapkan

[3.10]

0 \left|\alpha\right\rangle = \left| 0 \right\rangle ; \; \; 1 \left|\alpha\right\rangle = \left|\alpha\right\rangle .

Tentunya, \left| - \alpha\right\rangle = (-1) \left|\alpha\right\rangle .

Terdapat banyak kekurangan di sini dari pada yang tampak oleh mata kita, tetapi pada intinya adalah semua yang telah kita tulis di atas adalah untuk menuliskannya dalam bahasa yang ringkas mengenai aturan-aturan yang lazim untuk memanipulasi vektor. Kelebihan dari ringkasan semacam ini adalah bahwa kita akan bisa mengaplikasikan pengetahuan dan intuisi kita mengenai perilaku dari vektor-vektor dasar (biasa) pada sistem lain di mana kita bisa menggunakan sifat-sifat biasa untuk diterapkan bersama dalam sistem tersebut.

Kombinasi linier dari vektor \left|\alpha\right\rangle, \left|\beta\right\rangle, \left|\gamma\right\rangle, \cdots adalah ekspresi dari bentuk

[3.11]

a \left|\alpha\right\rangle + b \left|\beta\right\rangle + c \left|\gamma\right\rangle + \cdots .

Vektor \left|\lambda\right\rangle dikatakan independen secara linier dari set \left|\alpha\right\rangle, \left|\beta\right\rangle, \left|\gamma\right\rangle, \cdots jika vektor tersebut tidak dapat ditulis dalam kombinasi linier dari set tersebut. (Misalnya, dalam tiga dimensi vektor unit \hat{k} adalah independen secara linier dari \hat{i} dan \hat{j} , namun suatu vektor yang berada dalam bidang xy adalah dependen secara linier terhadap \hat{i} dan \hat{j} .) Perluasannya, suatu set vektor adalah independen secara linier jika masing-masing vektor tersebut independen secara linier dengan lainnya. Sekumpulan vektor dikatakan tersebar dalam ruang jika setiap vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari anggota set vektor[3] ini. set vektor independen secara linier yang menyebar dalam ruang dinamakan dengan basis. Jumlah vektor dalam setiap basis dinamakan dimensi dari ruang. Untuk kali ini, sebaiknya kita asumsikan bahwa dimensinya (n) adalah berhingga.

Dalam hubungannya dengan basis yang sudah ditentukan

[3.12]

\left| e_{1} \right\rangle , \left| e_{2} \right\rangle , \cdots , \left| e_{n} \right\rangle ,

setiap vektor sembarang

[3.13]

\left|\alpha\right\rangle = a_{1} \left| e_{1} \right\rangle + a_{2} \left| e_{2} \right\rangle + \cdots + a_{n} \left| e_{n} \right\rangle

adalah secara unik direpresentasikan oleh n-kali dari komponennya:

[3.14]

\left|\alpha\right\rangle = \left ( a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \right ) .

Lebih mudah untuk bekerja dengan komponen vektor dari pada dengan vektor abstrak itu sendiri. Untuk menambahkan vektor, kita tambahkan masing-masing komponen yang sama:

[3.15]

\left|\alpha\right\rangle + \left|\beta\right\rangle = \left ( a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \cdots, a_{n} + b_{n} \right ) ;

untuk mengalikan dengan skalar kita kalikan masing-masing komponennya:

[3.16]

c \left|\alpha\right\rangle = \left ( c a_{1}, c a_{2}, \cdots, c a_{n} \right ) ;

vektor nol direpresentasikan oleh barisan nol:

[3.17]

\left| 0 \right\rangle = \left ( 0, 0, \cdots, 0 \right ) ;

dan komponen dari vektor invers memiliki tanda yang berlawanan

[3.18]

\left| - \alpha\right\rangle = \left ( - a_{1}, - a_{2}, \cdots, - a_{n} \right ) .

Kerugian dari bekerja dengan komponennya adalah kita harus komitmen dengan basis tersebut, dan manipulasi yang sama akan kelihatan sangat berbeda untuk orang lain yang bekerja dengan basis yang berbeda.

Untuk materi ini saya rasa cukuplah sampai di sini dulu, Insya Allah akan kita sambung lain waktu. Semoga ilmu yang kita pelajari saat ini bermanfaat untuk kita semua. Terimakasih.

 


[1]Jika kamu telah mempelajari aljabar linier, kamu bisa melewati sub bab ini dengan segera, tetapi saya tidak berharap untuk melewatinya, karena beberapa notasi yang digunakan mungkin tidak familiar. Jika, hal ini baru untukmu, saya ingatkan bahwa saya hanya menyajikan ringkasan (seringnya tanpa bukti), aspek-aspek teori tersebut akan kita butuhkan nanti. Untuk lebih detailnya, kamu seharusnya merujuk pada buku aljabar linier, seperti pada P.R. Halmons: Finite Dimensional Vector Space, 2nd ed. (Princenton, NJ: Van Nostrand, 1958). Sebagai tambahan buku tersebut bisa diunduh disini.

[2]Untuk tujuan kita, skalar akan menjadi bilangan kompleks. Matematikawan bisa saja memberitahu kita mengenai ruang vektor yang lebih eksotik, tetapi tidak memainkan peranan yang berarti dalam mekanika kuantum.

[3]Biasanya untuk menuliskan vektor nol ini, bisa juga tanpa menggunakan tanda braket dan tidak menimbulkan kerancuan: \left| 0 \right \rangle \rightarrow 0 .

[3]Satu set vektor yang menyebar dalam ruang juga dapat dikatakan komplit.

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

3 responses to “Aljabar Linier (Perumusan Matematika dalam Mekanika Kuantum bagian 1)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: