Koordinat Umum


Untuk menemukan posisi partikel, kita membutuhkan tiga koordinat. Koordinat tersebut bisa berupa koordinat kartesian x , y , dan z , koordinat silinder r , \theta , dan z , koordinat bola r , \theta , dan \phi , atau tiga koordinat lainnya yang sesuai. Jika ada penghambat atau pemercepat pada gerak partikel, kita membutuhkan kurang dari tiga koordinat. Misalnya, jika partikel dipaksa untuk bergerak pada bidang permukaan, dua kordinat sudah cukup, misalnya partikel dipaksa untuk bergerak sepanjang garis, satu koordinat sudah cukup untuk mendeskripsikan gerak dari partikel.

Berdasarkan pada sistem mekanik yang terdiri dari N buah partikel. Untuk menentukan posisi dari sistem seperti ini pada waktu tertentu, kita membutuhkan N buah vektor, sedangkan masing-masing vektor dapat dideskripsikan ke dalam tiga koordinat. Tentunya, kita membutuhkan koordinat untuk mendiskripsikan sistem mekanik tersebut. Jika terdapat gaya penghambat, maka jumlah total koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan sistem akan berkurang. Sebagai contoh, misalkan saja sistemnya adalah benda tegar, dan seperti yang kita ketahui, jarak diantara dua partikel yang berbeda adalah tetap. Jarak yang tetap ini (tidak berubah) dapat diekspresikan ke dalam bentuk persamaan. Benda tegar dapat dideskripsikan secara lengkap hanya dengan enam koordinat, untuk itu, hanya enam koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan kofigurasi dari sistem benda tegar tersebut. Keenam koordinat tersebut adalah tiga koordinat posisi dari beberapa titik referensi yang sesuai dengan benda, biasanya pusat massa yang berkenaan dengan titik pusat koordinat yang digunakan, dan sisa tiga koordinat menjelaskan orientasi benda terhadap ruang.

Kita telah tertarik pada penentuan jumlah koordinat minimum yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan N partikel. Biasanya, gaya kendala pada sistem tersebut dideskripsikan oleh persamaannya. Misalkan saja terdapat m buah persamaan yang mendeskripsikan gaya konstrain. Maka jumlah koordinat minimum n yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan gerak secara lengkap atau konfigurasi dari sistem tersebut pada waktu tertentu diberikan oleh

[12.1]

n=3N-m

Di mana n adalah derajat kebebasan sistem. Ini tidakalah penting, apakah n buah koordinat tersebut adalah koordinat kartesius, silinder, ataukah sistem koordinat yang lain. Sebagai faktanya, n bisa berupa parameter tertentu, seperti panjang, (panjang)^{2} , sudut, energi, kuantitas tak berdimensi, atau kauntitas lainnya, sepanjang itu mendeskripsikan konfigurasi sistem secara lengkap. Nama koordinat umum diberikan untuk setiap set dari kuantitas yang mendeskripsikan keadaan atau konfigurasi sistem secara lengkap. n buah koordinat umum tersebut biasanya dituliskan sebagai

[12.2a]

q_{1}, q_{2}, q_{3}, \cdots, q_{n}

atau

[12.2b]

q_{k} di mana k=1,2,3, \cdots, n

n buah koodinat umum ini tidak dibatasi oleh suatu konstrain apapun. Jika masing-masing koordinat dapat berbeda secara independen dengan lainnya, maka sistem dikatakan holonomik. Dalam sistem tak holonomik, semua koordinatnya tidak berbeda secara independen satu sama lain. Maka dari itu, dalam sistem ini, jumlah derajat kebebasannya adalah kurang dari jumlah minimum dari koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan konfigurasi dari sistem. Sebagai contoh, bola yang menggelinding sempurna pada bidang permukaan kasar hanya membutuhkan lima koordinat untuk menentukan konfigurasinya, dua untuk posisi pusat massanya, dan tiga untuk menentukan orientasinya. Tetapi kelima koordinat tersebut tidak dapat berbeda secara independen. Ketika bola menggelinding, tak kurang dari dua koordinat yang harus berubah. Oleh karena itu, ini adalah sistem yang tak holonomik. Investigasi dan deskripsi mengenai sistem tak holonomik tidak akan dibahas disini. Kita dapat membatasi diskusi kita kali ini hanya pada sistem yang holonomik.

satu set dari koordinat umum yang sesuai dengan sistem adalah mereka yang hasil dalam persamaan geraknya mendorong kepada interpretasi gerak yang mudah. Koordinat umum q_{n} ini membetuk kofigurasi ruang, yang masing-masing dimensinya direpresentasikan oleh q_{k} . Lintasan sistem direpresentasikan oleh kurva di dalam konfigurasi ruang tersebut. Lintasan dalam konfigurasi ruang ini tidak dapat meminjamkan dirinya kepada interpretasi yang sama seperti lintasan dalam ruang tiga dimensi biasa. Dalam analoginya pada koordinat kartesius, kita mungkin mendefinisikan turunan da ri q_{k} , yaitu, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \cdots, \text{atau}, \dot{q}_{k}  sebagai kecepata umum.

Mari kita misalkan partikel tunggal yang koordinat kartesius x , y , dan z -nya adalah fungsi dari koordinat umum q_{1} , q_{2} , dan q_{3} yaitu,

[12.3]

x= x(q_{1}, q_{2}, q_{3})= x(q_{k}) \\ y= y(q_{1}, q_{2}, q_{3})= y(q_{k}) \\ z= z(q_{1}, q_{2}, q_{3})= z(q_{k})

Andaikan sistemnya berubah dari kofigurasi mula-mula yang diberikan oleh (q_{1}, q_{2}, q_{3}) menjadi konfigurasi sekitarnya yang diberikan oleh (q_{1} + \delta q_{1}, q_{2} + \delta q_{2}, q_{3}) + \delta q_{3} . Kita dapat mengekspresikan perubahan ini ke dalam koordinat kartesian sebagai relasi berikut:

[12.4]

\delta x = \frac{\partial x}{\partial q_{1}} \delta q_{1} + \frac{\partial x}{\partial q_{2}} \delta q_{2} + \frac{\partial x}{\partial q_{3}} \delta q_{3} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial x}{\partial q_{k}} \delta q_{k}

Dengan ekspresi yang sama untuk \delta y dan \delta z , di mana sama dengan tiga koordinat, dan turunan parsial \delta x/\delta q_{k} , dan seterusnya, adalah fungsi dari q . Nilai dari n tergantung dari derajat kebebasannya. Misalnya, jika tidak ada kendala, m=0 dan dari Pers. [12.1] untuk N=1 , n=3 , seperti yang telah kita gunakan di atas. n akan kurang dari 3 jika tidak ada kendala pada sistem.

Sekarang marilah kita tinjau kasus yang lebih umum yang mana sistem mekanikanya terdiri dari partikel dalam jumlah yang banyak yang memiliki n derajat kebebasan. Konfigurasi dari sistem ini ditentukan oleh koordinat umum q_{1}, q_{2}, q_{3}, \cdots, q_{n} . Misalkan saja konfigurasi sistemnya berubah dari (q_{1}, q_{2}, q_{3}, \cdots, q_{n}) menjadi konfigurasi baru (q_{1} + \delta q_{1}, q_{2} + \delta q_{2}, \cdots, q_{n}) + \delta q_{n} . Koodinat kartesian dari partikel i berubah dari (x_{i}, y_{i}, z_{i}) menjadi (x_{i} + \delta x_{i}, y_{i} + \delta y_{i}, z_{i} + \delta z_{i}) . Perpindahan \delta x_{i} , \delta y_{i} , dan \delta z_{i} dapat diekspresikan dalam bentuk koordinat umum sebagai

[12.5]

\delta x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} \delta q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} \delta q_{2} + \cdots + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{k}

Dengan ekspresi yang sama untuk \delta y_{i} dan \delta z_{i} . Sekali lagi turunan parsialnya adalah fungsi dari koordinat umum q_{k} .

Penting sekali pada saat untuk membedakan di antara dua jenis perpindahan: perpindahan sebenarnya d\mathbf{r}_{i} dan perpindahan semu \delta \mathbf{r}_{i} . Misalkan saja sebuah massa m_{i} dikenai sebuah gaya luar \mathbf{F}_{i} dan menyebabkan massa m_{i} bergerak dari \mathbf{r}_{i} menuju \mathbf{r}_{i} + d \mathbf{r}_{i} dalam interval waktu dt . Perpindahan ini harus konsisten terhadap persamaan gerak dan persamaan kendala yang mendeskripsikan sistem massa ini; oleh karena itu, perpindahan semacam ini dinamakan dengan perpindahan sebenarnya. Pada sisi lain, perpindahan semu adalah perpindahan yang konsisten dengan persamaan kendalanya tetapi tidak terhadap persamaan gerak maupun waktunya. Misalnya bandul pada pendulum dengan panjang l mungkin bergerak dari (l, \theta) menuju (l, \theta + \delta \theta) pada sembarang interval sepanjang bandulnya tetap berada pada busur dari lingkaran dengan jari-jari l . Maka \delta \mathbf{r}_{i} dan \delta \mathbf{q}_{i} digunakan dalam perpindahan semu seperti kasus di atas. Kita akan menggunakan prinsip dari kerja semu seperti dibawah ini. Kita dapat menganggap bahwa perpindahan \delta \mathbf{r} merupakan hasil dari kerja semu W . Pada dasarnya, perpindahan seperti ini, orientasi relatifnya dan jarak diantara dua partikel tidak berubah

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

2 responses to “Koordinat Umum

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: