Analisis Vektor


1.1 Aljabar Vektor

1.1.1 Operasi Vektor

Jika kita berjalan 4 km ke utara kemudian dilanjutkan 3 km ke timur (Gambar 1.1), maka dapat dikatakan bahwa kita telah berjalan sejauh 7 km, tetapi ternyata kita tidak berada 7 km dari tempat kita semula, kita hanya berjark 5 km. Untuk menggambarkan kuantitas seperti ini, dibutuhkan suatu aritmatika baru, yang dengan jelas tidak menjumlahkan pergerakan tersebut dengan operasi penjumlahan seperti biasa yang sering kita gunakan. Jarak 5 km tadi adalah perpindahan (suatu garis lurus yang menghubungkan titik awal ke titik akhir perjalanan) yang memiliki panjang dan arah, dan kedua faktor tersebut harus digunakan secara bersama-sama dalam sebuah operasi matematika. Hal seperti ini dinamakan dengan istilah vektor. Kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum adalah contoh lain dari vektor. Lain halnya dengan kuantitas yang hanya memiliki besar tapi tidak memiliki arah yang dinamakan dengan skalar, contohnya adalah massa, muatan, kerapatan, dan suhu. Terdapat formalitas dalam penulisan vektor, vektor biasanya ditulis dengan huruf besar dan diatasnya terdapat tanda panah (\vec{A} , \vec{B} , dan seterusnya) untuk menunjukkan vektor dan huruf biasa untuk menunjukkan skalar. Besar dari vektor \vec{A} biasa  ditulis dengan \left | A \right | atau A untuk lebih sederhananya. Di dalam sebuah diagram, vektor ditunjukkan oleh tanda panah, panjang dari panah adalah proporsional dengan besarnya vektor, dan mata panah menujukkan arahnya.

Photobucket Photobucket
Gambar 1.1 Gambar 1.2

Minus \vec{A} ( atau bisa juga ditulis - \vec{A} ) adalah vektor dengan besar yang sama tetapi memiliki arah yang berlawanan dengan \vec{A} (Gambar 1.2). Ingat, bahwa vektor hanya memiliki komponen besar dan arah, tetapi tidak lokasi, jadi dapat dikatakan perpindahan 4 km ke selatan dari Surabaya adalah sama dengan perpindahan 4 km ke selatan dari Jakarta (tentu saja dengan mengabaikan faktor kelengkungan bumi). Pada diagram kita dapat meletakkan vektor dimana saja yang kita suka, selama kita tidak mengubah besar dan arah vektor tersebut.

Terdapat 4 macam operasi vektor, satu macam penjumlahan dan tiga macam perkalian:

  1. Penjumlahan dua vektor. Letakkan ekor \vec{B} di kepala \vec{A} , jumlahan \vec{A} + \vec{B} adalah adalah vektor dari ekor \vec{A} hingga kepala \vec{B} (Gambar 1.3). (Aturan ini menggambarkan prosedur pada kombinasi dua macam perpindahan). Penjumlahan bersifat komutatif:
    \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}

    Tiga km ke timur yang dilanjutkan dengan 4 km ke utara adalah sama dengan perpindahan 4 km ke utara yang dilanjutkan dengan 3 km ke timur. Penjumlahan juga bersifat asosiatif:

    (\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})

    Untuk mengurangkan vektor (gambar 1.4), dengan cara menambahkan lawannya:

    \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})
    Gambar 1.3 Gambar 1.4

  2. Perkalian vektor dengan skalar. Perkalian vektor dengan dengan bilangan skalar positif a adalah dengan mengalikan besarnya tetapi tidak arahnya (arahnya tetap, tidak berubah (gambar 1.5). Jika a negatif, arahnya adalah kebalikannya). Perkalian skalar bersifat distributif:
    a(\vec{A} + \vec{B}) = a\vec{A} + a\vec{B}
  3. Dot product dari dua vektor. Dot product dari dua vektor didefinisikan oleh:

    \vec{A} \cdot \vec{B} \equiv A \cdot B \sin \theta (1.1)

    di mana θ adalah sudut yang dibentuk ketika kedua ekor vektor tersebut diletakkan pada titik yang sama (Gambar 1.6). Ingat bahwa \vec{A} \cdot \vec{B} dengan sendirinya menghasilkan skalar (oleh karena itu operasi ini juga biasa disebut dengan produk skalar). Dot Product bersifat komutatif:

    \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}
    Gambar 1.5 Gambar 1.6

    dan juga bersifat distributif:

    \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} (1.2)

    Secara geometris, \vec{A} \cdot \vec{B} adalah hasil dari A kali proyeksi \vec{B} terhadap \vec{A} (atau hasil dari B kali proyeksi \vec{A} terhadap \vec{B}). Jika kedua vektor paralel, maka \vec{A} \cdot \vec{B} = A \cdot B. Tentunya untuk setiap \vec{A},

    \vec{A} \cdot \vec{A} = A^{2} (1.3)

    Jika \vec{A} dan \vec{B} saling tegak lurus, maka \vec{A} \cdot \vec{B} = 0.

    Contoh 1.1

    Diberikan, \vec{C} = \vec{A} - \vec{B} (Gambar 1.7). Hitung dot product dari \vec{C} dengan dirinya sendiri.
    Solusi:

    \vec{C} \cdot \vec{C} = (\vec{A}-\vec{B}) \cdot (\vec{A}-\vec{B}) = \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} - \vec{B} \cdot \vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{B}

    atau,

    C^{2} = A^{2} + B^{2}-2AB \cos \theta

    hasil diatas juga merupakan aturan kosinus.

  4. Cross product dari dua vektor. Cross produc dari 2 vektor didefinisikan oleh:
    \vec{A}\times \vec{B} \equiv AB \sin \theta \hat{n} (1.4)

    di mana \hat{n} adalah vektor satuan (vektor dengan panjang 1) yang arahnya tegak lurus terhadap \vec{A} dan \vec{B} (Biasanya digunakan tanda topi (ˆ) untuk menyatakan vektor satuan). Tentunya, terdapat dua arah yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh \vec{A} dan \vec{B}, yaitu “ke dalam” dan “keluar”. Keambiguan ini dapat diseselaikan dengan menggunakan “kaidah tangan kanan”, arah keempat jari (selain ibu jari) merupakan arah vektor pertama dan digulung melingkar (melalui sudut yang lebih kecil) menuju vektor kedua, arah dari ibu jari adalah arah dari \hat{n}. (pada gambar 1.8 , \vec{A} \times \vec{B} mengarah ke dalam kertas , \vec{B} \times \vec{A} mengarah ke luar kertas). Ingat bahwa \vec{A} \times \vec{B} dengan sendirinya akan menghasilkan vektor ( Oleh karena itu, istilah lain dari operasi ini adalah produk vektor), cross product bersifat distributif:

    \vec{A}\times \left ( \vec{B} + \vec{C} \right ) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} (1.5)
    Gambar 1.7 Gambar 1.8

    Secara geometris, \left| \vec{A} \times \vec{B} \right| adalah luas area jajar genjang yang dibentuk oleh \vec{A} dan \vec{B} (gambar 1.8). Jika kedua vektor paralel maka cross product-nya adalah nol. Tentunya:

    \vec{A} \times \vec{B} = 0

    untuk setiap \vec{A}.

[bersambung]

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

5 responses to “Analisis Vektor

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: