20 December 2011

Sumur Potensial Berhingga (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 6)

By Dedy Kurniawan Setyoko

karikatur sumur, ya…sebagai gambaran saja mengenai materi kali ini. Gambar diambil dari: http://www.crookedstreetpress.com

Sebagai contoh kasus yang terakhir, mari kita pertimbangkan juga sumur potensial berhingga,

[2.127]

V(x) = \begin{cases} -V_{0} & -a < x < a \\ 0 & |x| > 0 \end{cases} ,

di mana V_{0} adalah konstanta positif (Gambar2.12). Seperti dinding potensial fungsi Delta, sumur potensial berhingga berlaku dua keadaan, keadaan terikat (dengan E < 0 ) dan keadaan hamburan (dengan E > 0 ). Pertama, kita akan mempelajari keadaan terikat terlebih dahulu.

.

Gambar 2.12: Sumur potensial Berhingga (Persamaan 2.127).

Pada daerah x > -a potensialnya adalah nol, maka persamaan Shroedinger menjadi

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = E \psi , atau \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = \kappa^{2} \psi ,

di mana

[2.128]

\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}

adalah real dan positif. Solusi umumnya adalah \psi(x) = A exp (- \kappa x) + B exp (\kappa x) , tetapi bagian pertama akan bernilai tak berhingga (pada x \to - \infty ), maka solusi fisis yang dapat diterima (seperti sebelumnya, lihat Persamaan 2.101) adalah

[2.129]

\psi(x) = B e^{\kappa x} untuk (x < -a ).

Dalam daerah -a < x < a , V(x) = -V_{0} , dan persamaan Shroedinger menjadi

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + V_{0} \psi = E \psi , atau \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = -l^{2} \psi ,

di mana

[2.130]

l \equiv = \frac{\sqrt{2m(E + V_{0})}}{\hbar} .

Walaupun E negatif, untuk keadaan terikat haruslah lebih besar dari pada - V_{0} , yang disebabkan oleh teorena klasik yang menyebutkan bahwa E > V_{min} (soal 2.2), oleh karena itu, l juga harus real dan positif. Solusi umumnya adalah

[2.131]

\psi(x) = C sin (lx) + D cos (lx) , untuk (-a < x < a ),

Di mana C dan D adalah sembarang konstanta. Akhirnya, dalam daerah x > a potensialnya kembali lagi nol, solusi umumnya adalah \psi(x) = F exp (- \kappa x) + G exp (\kappa x) , tetapi bagian yang kedua akan menjadi tak berhingga (pada x \to - \infty ), maka kita hanya menyisakan

[2.132]

\psi(x) = F exp (- \kappa x) , untuk (x > a )

Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah menentukan syarat batas: \psi dan d \psi / dx kontinu pada -a dan +a . Tetapi kita dapat menghemat sedikit waktu kita dengan mengingat bahwa potensial ini adalah fungsi genap, maka kita dapat mengasumsikan tanpa ada kekurangan bahwa solusinya adalah juga merupakan fungsi genap dan ganjil (Soal 2.1c). Keuntungan dari ini adalah bahwa kita hanya butuh untuk menerapkan syarat batas pada salah satu sisi saja (katakanlah pada +a ), sisi yang lain secara otomatis akan langsung sama cara penyelesainnya, karena \psi(-x) = \pm \psi(x) . Kita akan mengerjakan solusi genapnya saja, maka tugas kamu adalah mengerjakan sisi ganjilnya pada Soal 2.28. Cos adalah fungsi genap (dan sin adalah fungsi ganjil), maka solusi umumnya adalah

[2.133]

\psi(x) = \begin{cases} F e^{- \kappa x}, & \text{untuk} \; x > a, \\ D cos (lx), & \text{untuk} \; (0 < x < a), \\ \psi(-x), & \text{untuk} \; (x < 0) \end{cases}

Dari sifat kontinuitas \psi(x) , pada x=a kita dapatkan

[2.134]

F e^{- \kappa a} = D cos (la) ,

dari kontinuitas \psi(x)/dx , kita peroleh

[2.135]

\kappa F e^{- \kappa a} = - D sin (la) .

Dengan membagi Persamaan 2.135 dengan Persamaan 2.134 kita dapatkan

[2.136]

\kappa = l tan (la) .

Persamaan 2.136 adalah perumusan untuk energi yang diijinkan, karena \kappa dan l , keduanya adalah fungsi E . Untuk mendapatkan E , kita sebaiknya mengadopsi beberapa notasi. Misalkan saja

[2.137]

z \equiv la , dan z_{0} = \frac{a}{\hbar} \sqrt{2mV_{0}} .

Berdasarkan Persamaan 2.128 dan 2.130, (\kappa^{2} + l^{2}) = 2mV_{0} / \hbar^{2} , maka \kappa a = \sqrt{z_{0}^{2} - z^{2}} , dan Persamaan 2.136 menjadi

[2.138]

tan z = \sqrt{\frac{z_{0}^{2}}{z^{2}} - 1} .

Ini adalah persamaan yang sulit untuk di selesaikan di mana z (dan juga untuk E ) sebagai fungsi z_{0} (yang merupakan sebuah ukuran “dinding”). Persamaan tersebut dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan kalkulator, atau komputer, atau secara grafik dengan menggambarkan tan z dan \sqrt{z_{0}^{2}/z^{2} - 1} pada grafik yang sama, kemudian kita perhatikan titik pertemuan kedua plot tersebut (Lihat Gambar 2.13). Terdapat dua kondisi spesifik untuk permasalahan ini:

Gambar 2.13: koefisien transmisi sebagai fungsi energi (Persamaan 2.151).

Dinding lebar dan dalam. Jika z_{0} sangat besar, titik perpotongan hanya terjadi sedikit di bawah z_{n} = n \pi / 2 , dengan n bilangan ganjil; ini berarti bahwa

[2.139]

E_{n} + V_{0} \cong \frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2m (2a)^{2}} .

Di sini E_{n} + V_{0} adalah energi di atas dasar sumur, dan pada sebelah kanan, kita dapatkan secara tepat energi sumur potensial tak berhingga, untuk sumur dengan lebar 2a (lihat Persamaan 2.23)─atau sebaiknya, setengah darinya, selama n adalah ganjil. (Untuk bagian yang lain, tentunya, datang dari fungsi gelombang ganjil, sama seperti yang akan kamu temukan dalam Soal 2.28.) Sehingga, sumur potensial berhingga akan menjadi sumur potensial tak berhingga pada V_{0} \to \infty ; bagaimanapun untuk V_{0} berhingga terdapat hanya banyak keadaan terikat berhingga pula.

Dinding sempit dan dangkal. Saat V_{0} menurun, terdapat lebih sedikit dan sedikit keadaan terikat, hingga akhirnya (untuk z_{0} < \pi / 2 , di mana bilangan ganjil terendah hilang) hanya terdapat satu. Ini menarik untuk dicatat, bagaimanapun, bahwa selalu terdapat satu keadaan terikat, tanpa memperdulikan seberapa lemah sumur potensial yang ada.

Sekarang kamu boleh untuk menormalisasikan \psi (Persamaan 2.133), jika kamu tertarik (lihat Soal 2.29), tapi saya sekarang akan langsung pada keadaan terikat (E > 0 ). Di sebelah kiri, di mana V(x) = 0 , kita punya

[2.140]

\psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} , untuk (x < -a )

di mana (seperti biasanya)

[2.141]

k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} .

Di dalam sumur, di mana V(x) = - V_{0} ,

[2.142]

\psi(x) = C sin (lx) + D cos (lx) , untuk (-a < x < a )

di mana, sama seperti sebelumnya,

[2.143]

l \equiv \frac{\sqrt{2m(E + V_{0})}}{\hbar} .

Pada sebelah kanan, asumsikan tidak terdapat gelombang datang pada daerah ini, kita dapatkan

[2.144]

\psi(x) = F e^{ikx} .

A adalah amplitudo gelombang datang, B adalah amplitudo gelombang terpantulkan, dan F adalah amplitudo gelombang tertransimisi.[16]

Terdapat empat kondisi batas: kontinuitas \psi(x) pada -a menyatakan

[2.145]

A e^{-ika} + B e^{ika} = -C sin (la) + D cos (la) ,

kontinuitas \psi(x) / dx pada -a memberikan

[2.146]

ik [A e^{-ika} - B e^{ika}] = l[C cos (la) + D sin (la)] ,

kontinuitas \psi(x) pada -a menghasilkan

[2.147]

C sin (la) + D cos (la) = F e^{ika} ,

dan kontinuitas \psi(x) / dx pada a mengharuskan

[2.148]

l [ C sin (la) + D cos (la) ] = ik F e^{ika} .

Kita bisa menggunakannya untuk mengeliminasi C dan D , dan menyelesaikannya untuk mendapatkan B dan F (lihat Soal 2.31):

[2.149]

B = i \frac{sin (2la)}{2kl} (l^{2} - k^{2}) F ,

[2.150]

F = \frac{e^{-ika}}{cos (2la) - i \frac{sin (2la)}{2kl} (k^{2} + l^{2})} A .

Koefisien transmisi (T = |F|^{2} / |A|^{2} ), di ekspresikan dalam bentuk variabel asli, diberikan oleh

[2.151]

T^{-1} = 1 + \frac{V_{0}^{2}}{4E(E + V_{0})} sin^{2} \left ( \frac{2a}{\hbar} \sqrt{2m(E + V_{0})} \right ) .

Ingat bahwa bila T = 1 (dinding sumur menjadi “transparan”) bilamana argumen sinus adalah nol, yang mana dapat dikatakan untuk

[2.152]

\frac{2a}{\hbar} \sqrt{2m(E + V_{0})} = n \pi .

Di mana n adalah integer. Energi untuk transmisi sempurna, diberikan oleh

[2.153]

E + V_{0} = \frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2m (2a)^{2}} ,

yang terjadi pada energi yang diijinkan secara tepat untuk sumur potensial berhingga. T ditunjukkan dalam Gambar 2.14 sebagai fungsi energi.

Gambar 2.14: koefisien transmisi sebagai fungsi energi (Persamaan 2.151).

[16]Kita bisa menggunakan istilah fungsi genap dan ganjil, sama seperti yang telah kita gunakan pada keaadaan terikat, tetapi untuk kali ini sebaiknya kita wakili dengan gelomban berdiri, dan permasalahan hamburan secara alami lebih diformulasikan dalam bentuk gelombang merambat.

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko
This entry was posted on Tuesday, December 20th, 2011 at 03:42 and tagged with , , , , , , and posted in Mekanika kuantum. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed.

One response to “Sumur Potensial Berhingga (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 6)”

Leave a comment