Matriks Hamburan (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 7-habis)

Gambar 2.15: Hamburan pada sembarang potensial terlokalisasi [ kecuali pada daerah II].

Teori hamburan menghasilkan cara yang nyata untuk potensial yang terlokalisasi sembarang (Gambar 2.15). Pada bagian kiri (Daerah I), , maka dari itu

[2.155]

, di mana .

Pada bagian kanan (Daerah III), kembali lagi bernilai nol, maka

[2.156]

$.

Di tengah-tengahnya (Daerah II), tentunya kita tidak bisa menghitung selama kita belum menentukan potensialnya secara spesifik, tetapi karena persamaan Shroedinger adalah linier dan berupa persamaan diferensial orde dua, maka solusi umumnya memiliki bentuk

[2.157]

,

di mana dan adalah solusi terpisah yang independen secara linier. Akan ada empat syarat batas (dua dari gabungan Daerah I dan II, dan dua lagi dari gabungan Daerah II dan III). Dua diantaranya dapat digunakan untuk mengeliminasi dan , dan dua lagi yang lainnya dapat “diselesaikan” untuk dan dalam bentuk dan :

[2.158]

,

Empat koefisien , yang bergantung pada (dan tentunya juga pada ), merupakan matriks

[2.159]

,

dinamakan dengan matriks hamburan (Scattering matrix) atau matriks-S untuk lebih singkatnya. Matriks-S memberitahukan kepada kita amplitudo keluaran ( dan ) dalam bentuk amplitudo masukan ( dan ):

[2.160]

.

Pada kasus hamburan yang datang dari sebelah kiri, , maka koefisien refleksi dan transmisi adalah

[2.160]

, .

Untuk hamburan yang dating dari sebelah kanan,, dan

[2.161]

, .

Matriks-S memberitahukan kita semuanya yang berhubungan dengan hamburan dari potensial terlokalisasi. Untungnya, itu juga terdapat informasi mengenai keadaan terikat (jika ada). Untuk jika , sehingga memiliki bentuk

[2.163]

dengan

[2.164]

.

Kondisi batasnya sama seperti sebelumnya, sehingga matriks-S memiliki struktur yang sama-hanya sekarang -nya negatif, sehingga . Namun kali ini dan adalah nol, dimana dan tidak, dan oleh sebab itu (Persamaan 2.158) setidaknya dua elemen dalam matriks-S harus infinit. Untuk mendapatkan dengan cara yang lain, jika kamu telah mendapatkan matriks-S (untuk ), dan kamu ingin menempatkan keadaan terikat; tempatkan , dan lihat energinya yang mana matriks-S tak berhingga.

Sebagai contoh, pada kasus sumur potensial berhingga,

(Persamaan 2.150). Substitusikan , kita lihat bahwa menjadi tak berhingga bilamana

.

Dengan menggunakan identitas trigonometri

.

Akan kita dapatkan

(tanda positif), dan (tanda negatif).

Nilai tersebut secara tepat adalah kondisi untuk keadaan terikat pada sumur potensial berhingga (Persamaan 2.136 dan Soal 2.28).

Advertisement