Gambaran umum mengenai Langrangian dan Hamiltonian

Joseph Louis de Langrange

“…to reduce the theory of mechanics, and the art of solving the associated problems, to general formulae, whose simple development provides all the equations necessary for the soluttion of ech problem…to unite and present from one point of view, the different principle wich have, so far, been found to assist in the solution of problems in mechanis, by showing their mutual dependence and making a judgement of their validity and scope possible…no diagram will be found in this work. The methods that I explain in it require neither constructions nor geometrical or mechanical arguments, but only algebraic operations inherent to regular and uniform process. Those who love analysis will, with joy, see mechanics become a new brach ot it and will be gratefull to me for having extended its field.”

---

(Joseph Louis de Langrange, avertissement for Mechanique Analytique, 1788)

Kutipan di atas adalah kata-kata yang di ucapkan Langrange (Joseph Louis de Langrange) dalam pendapatnya mengenai mekanika analitik, di mana dalam bahasa indonesia kurang lebih dapat diartikan sebagai berikut:

“…untuk mereduksi teori mekanika, dan seninya dalam penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan hal tersebut, untuk men-general-kan perumusan, yang lebih sederhana dalam pengembangannya menyajikan semua persamaan yang diperlukan untuk solusi dalam masing-masing permasalahan…untuk menyatukan dan menyajikan dari satu sudut pandang baru, prinsip yang berbeda, yang sejauh ini telah ditemukan untuk membantu dalam penyelesaian permasalahan mekanika, dengan menunjukkan saling kebergantungannya dan membuat keputusan dari validitas dan cakupannya yang mungkin…tidak ada diagram yang akan ditemukan dalam pengerjaan ini. Metode yang saya jelaskan ini tidak membutuhkan konstruksi maupun geometri atau argumen mekanik, tetapi hanya membutuhkan operasi aljabar yang melekat pada proses yang umum dan seragam. Siapa yang menyukaii analisis akan menikmati dan melihat mekanika menjadi cabang baru darinya dan saya sangat bersyukur telah mengembangkan bidang ini.”

Cara lain untuk melihat mekanika, selain dari pandangan Newtonian, telah dikembangakan dalam benua Eropa yang agak bertentangan dengan usaha Newton. Pekerjaan ini telah diselesaikan oleh Wilhelm von Leibniz (Orang yang terlibat pertengkaran sengit dengan Newton tentang siapa yang harus mendapatkan penghargaan terhadap perkembangan kalkulus). Usaha ini berdasarkan pada operasi matematika dengan kuantitas skalar dari energi, dari pada kuantitas vektor pada gaya dan percepatan.  Perkembangannya lebih dari satu abad untuk melengkapinya dan menggunakan bakat dari banyak pemikir terhebat di dunia ini. Setelah Libniz, perkembangan selanjutnya dengan mekanika baru telah dibuat terutama oleh Johann Bernoulli. Pada tahun 1717, ia membangun prinsip “kerja semu” untuk menjelaskan kesetimbangan sistem statik. Prinsip ini diperluas oleh D’Alembert untuk memasukkan pergerakan dari sistem dinamik. Puncak perkembangannya adalah dengan hasil kerja dari James Joseph Langrange, yang menggunakan prinsip kerja semu dan perluasan D’Alembert sebagai pondasi dari turunan dari persamaan dinamik, karena sumbangsihnya ini pada bidang mekanika, dia menjadi orang yang terkenal.

Dengan menggunakan Hukum kedua Newton dan syarat batas yang diberikan, kita bisa mendapatkan persamaan gerak dari sistem yang diberikan dan menjelaskan gerak dari sistem tersebut. Hukum Newton hanya dapat digunakan jika semua gaya-gaya yang bekerja pada sistem diketahui, sehingga kondisi dinamisnya diketahui. Selanjutnya kita menggunakan koordinat kartesian, dan kadang-kadang menggunakan koordinat polar, silinder, atau bola.

Dalam kebanyakan situasi, permasahannya tidak sesederhanya seperti menyelesaikannya dengan definisi dinamikal dan syarat batas. Misalanya, massa yang dipaksa untuk bergerak pada permukaan sferis, atau tasbih yang meluncur pada talinya. Dalam situasi seperti ini, tidak hanya bentuk gaya yang tidak diketahui yang memaksa membentuk gerakan tersebut yang membuat permasalahan menjadi sulit untuk diselesaikan, tetapi juga penggunaan korrdinat kartesius atau sistem koordinat yang lain yang mungkin membuat persoalan ini tidak mungkin untuk diselesaikan, bahkan jika gaya yang bekerja diketahui.

Dua macam metode berbeda telah dikembangkan,  Persamaan Lagrange dan Persamaan Hamilton, untuk mengatasi persoalan semacam ini. Dua teknik tersebut bukanlah hasil dari teori baru. Keduaya merupakan turunan dari Hukum kedua Newton, tetapi mereka memberikan penyelesaian yang lebih mudah dalam menyangani kasu-kasus fisika alam yang sangat rumit. Pertama, teknik-teknik ini menggunakan koordinat umum. Ini malahan, hanya dibatasi hanya penggunakan koordinat kartesius atau polar, dan kuantitas-kuantitas, seperti kecepatan, momentum anguler, atau , yang semuanya kita sukai, nantinya akan digunakan dalam penyelesaian persoalan. Koordinat umum biasanya di notasikan dengan , di mana bisa berupa , bisa berupa , mungkin bisa berupa sudut , dan sebagainya. Selanjutnya, kedua teknik tersebut menggunakan pendekatan energi, yang memiliki keuntungan lebih mudah apabila kita berurusan dengan skalar dari pada dengan vektor. Nah sebaiknya kita mendiskusikan hal ini secara lebih rinci artikel selanjutnya.

Gambar: Ilustrasi permasalahan pada metode Langrangian dan Hamiltonian

Kita mungkin akan menyebutkan dengan ringkas, perbedaan antara metode Langrange dan metode Hamilton. Dalam perumusan Langrange, koordinat umum yang digunakan adalah posisi dan kecepatan, dalam penyelesaian persamaan diferensial linier orde dua. Dalam perumusan Hamilton, koordinat umum yang digunakan adalah posisi dan momentum, dalam menyelesaiakan persamaan diferensial linier orde satu. Kedua metode tersebut tidak hanya menbantu banyak dalam penyelesaian persamaan gerak yang dideskripsikan sistem, tetapi juga dapat digunakan untuk menghitung gaya dan reaksinya.