Sumur Potensial Tak Berhingga (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 2)


2.2 Sumur Potensial Tak Berhingga

Misalkan terdapat potensial dengan fungsi:

(2.1)

V \left ( x \right ) = \begin{cases} 0 \text{ jika } 0 \leq x \leq a \\ \infty \text{ jika lainnya } \end{cases}

(gambar 2.1) Partikel yang berada dalam potensial ini pasti merupakan partikel bebas, kecuali apabila berada di luar dinding potensial (x=0 dan x=a ) di mana terdapat gaya yang tak terhingga yang menghalangi partikel tersebut untuk lolos dari dinding potensial. Dalam model klasik, hal ini seperti kereta mainan yang berada di atas trek udara (biasanya ada di praktikum fisika dasar universitas) dengan tumbukan elastik sempurna, sehingga akan memantul secara terus menerus (potensial ini sebenarnya sangat dibuat-buat, tetapi saya berharap kita dapat membayangkannya. Meskipun potensial ini sangat sederhana, tetapi akan mmenjadi sangat berarti karena kesederhanannya, di mana hasilnya akan sangat dibutuhkan untuk memahami bentuk-bentuk potensial lain yang lebih rumit).

Gambar 2.1: Sumur potensial tak berhingga (Persamaan 2.15).

Di luar dinding potensial, \psi (x) = 0 (Probabilitas menemukan partikel adalah nol). Di dalam dinding, dimana V=0 , persamaan Schroedinger tidak-bergantung waktu (Persamaan 2.4) menjadi:

(2.16)

- \frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = E \psi

atau

(2.17)

\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = - k^{2} \psi , di mana k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

(dengan menuliskan demikian, kita semua tahu bahwa E harus lebih dari nol, E \geq 0 , karena kita tahu bahwa E tidak mungkin bernilai negatif) Persamaan 2.17 adalah persamaan osilator harminik sederhana (klasik) yang memiliki solusi umum:

(2.18)

\psi (x) = A sin kx + B cos kx

Di mana A dan B adalah konstanta sembarang. Biasanya, konstanta tersebut ditentukan dari syarat batas dari permasalahan yang ada. Apakah syarat batas yang tepat untuk \psi (x) ? Biasanya \psi dan d \psi / dx bersifat kontinu, tetapi ketika potensial menjadi tak terhingga maka yang dapat diaplikasikan hanyalah \psi (kita akan membuktikan hal ini, dan menghitung untuk pengecualian ketika V = \infty untuk sekarang cukuplah kita percaya kalau hal ini adalah benar.)

Kontinuitas \psi (x) membutuhkan syarat-syarat:

(2.19)

\psi (0) = \psi (a) = 0

Dengan begitu untuk \psi yang berada di luar dinding potensial, nilainya pasti nol, apabila syarat-syarat tersebut dimasukkan ke dalam persamaan 2.18, maka

\psi (0) = A sin 0 + B cos 0 = 0

maka B = 0 karenanya

(2.20)

\psi (x) = A sin kx

Kemudian \psi (a) = A sin ka , jika A= 0 (hal ini akan mendapatkan solusi yang tidak ternormalisasi di mana \psi (x) = 0 , yang berarti partikel tidak berada di mana-mana, juga tidak ada artinya apa-apa), atau hasil yang lain sin ka = 0 , yang berarti

(2.21)

ka = 0, \pm \pi , \pm 2 \pi , \pm 3 \pi , \cdots

Tetapi jika k = 0 (ini akan kembali menghasilkan \psi (x) = 0 ) dan karena fungsi sinus merupakan fungsi ganjil, maka tanda minus dalam sinus dapat dihilangkan, dan solusi yang tepat adalah:

(2.22)

k_{n} = \frac{n \pi}{a} , dengan n = 1, 2, 3, \cdots

Sekarang coba kita perhatikan, syarat batas pada x = a tidak menghasilkan nilai konstanta A, tapi jangan dulu khawatirkan hal itu, coba kita hitung nilai E dengan menggunakan konstanta k yang telah kita dapatkan

(2.23)

E_{n} = \frac{k_{n}^{2} \hbar ^{2}}{2m} = \frac{n^{2} \pi ^{2} \hbar ^{2}}{2ma^{2}}

Perhatikan! Terdapat perbedaan yang mencolok dengan mekanika klasik, partikel kuantum pada sumur potensial tak berhingga tidak dapat mengijinkan semua energi, tetapi hanya keadaan energi-energi tertentu saja yang dapat diijinkan yang sesuai dengan persamaan 2.23. Nah, sekarang bagaimana caranya agar kita mendapatkan nilai A? Jawabannya adalah dengan menormalisikan \psi

\int_{0}^{a} \left | A \right | ^{2} sin ^{2} \left ( kx \right ) dx maka \left | A \right | ^{2} = \frac{2}{a}

Tetapi ini hanya menghasilkan nilai magnitude A, untuk menghasilkan nilai akar positif, A = \sqrt{2/a} , maka di dalam dinding potensial, solusi persamaannya adalah

(2.24)

\psi _{n} \left ( x \right ) = \sqrt{\frac{2}{a}} sin \left ( \frac{n \pi}{a} x \right )

Gambar 2.2: Visualisasi fungsi gelombang tiga keadaan yang pertama pada sumur potensial tak hingga (persamaan 2.24)

Seperti yang telah dijanjikan sebelumnya, persamaan Schroedinger-tak bergantung waktu memiliki satu set solusi tak hingga untuk setiap nikai integer n. Grafik solusi persamaan Shroedinger-tak bergantung waktu untuk beberapa nilai n pertama ditampilkan dalam gambar 2.2, yang kelihatan seperti gelombang berdiri pada seutas tali yang terbentang dengan panjang a. \psi _{1} yang memiliki tingkat energi yang paling rendah dinamakan dengan ground state (keadaan dasar), sedangkan yang lainnya dengan tingkat energi yang lebih tinggi, yang meningkat sebanding dengan nilai n^{2} , dinamakan dengan keadaan tereksitasi. Sebagai sebuah kumpulan fungsi gelombang, fungsi \psi _{n} \left ( x \right ) memiliki beberapa sifat-sifat khusus dan menarik:

1. Fungsi \psi _{n} \left ( x \right ) adalah fungsi genap dan ganjil terhadap dinding potensial (\psi_{1} adalah fungsi genap, \psi_{2} adalah fungsi ganjil, \psi_{3} adalah fungsi genap, dan begitu seterusnya[6])

2. Masing-masing keadaan secara berturut-turut memiliki node (titik potong dengan sumbu x) yang jumlahnya bertambah satu berkaitan dengan bertambahnya nilai n. \psi_{1} tidak ada, \psi_{2} ada satu, \psi_{3} ada tiga dan seterusnya.

3. \psi_{n} \left ( x \right ) bersifat ortonormal satu sama lain. sesuai dengan pernyataan tersebut maka:

(2.25)

\int \psi_{m} \left ( x \right )^{\ast} \psi_{n} \left ( x \right ) dx = 0

apabila m \neq n . Bukti:

\int \psi_{m} \left ( x \right )^{\ast} \psi_{n} \left ( x \right ) dx = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} sin \left ( \frac{m \pi}{a} x \right ) sin \left ( \frac{n \pi}{a} x \right ) dx \\ = \frac{1}{a} \int_{0}^{a} \left [ cos \left ( \frac{m-n}{a} \pi x \right ) - cos \left ( \frac{m+n}{a} \pi x \right ) \right ] dx \\ = \left | \frac{1}{\left ( m-n \right ) \pi} sin \left ( \frac{m-n}{a} \pi x \right ) - \frac{1}{\left ( m+n \right ) \pi} sin \left ( \frac{m+n}{a} \pi x \right ) \right | _{0}^{a} \\ = \frac{1}{\pi} \left ( \frac{sin\left [ \left ( m-n \right ) \pi \right ]}{m-n} - \frac{sin\left [ \left ( m+n \right ) \pi \right ]}{m+n} \right ) = 0

Ingat bahwa argumen ini tidak akan bekerja jika m = n , pada kasus normalisasi yang memberitahukan kita bahwa nilainya adalah 1. Oleh karena itu, kita bisa mengkombinasikan ortogonalitas dengan normalitas ke dalam satu statemen[7]

(2.26)

\int \psi_{m} \left ( x \right )^{\ast} \psi_{n} \left ( x \right ) dx = \delta_{mn}

di mana \delta_{mn} (dinamakan dengan delta kroneker) didefinisikan oleh:

(2.27)

\delta = \begin{cases} 0 \text{ jika } m \neq n \\ 1 \text{ jika } m=n \end{cases}

4. \psi adalah fungsi komplit. Dalam pengertian bahwa setiap fungsi lain, f(x) , dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari \psi

(2.28)

f \left ( x \right ) = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi_{n} \left ( x \right ) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} sin \left ( \frac{n \pi}{a} x \right )

Di sini kita tidak berbicara mengenai kekomplitan fungsi \sqrt{2/a} sin \left ( n \pi x / a \right ) , tetapi jika kita telah mempelajari kalkulus lanjut, kita akan tahu bahwa persamaan 2.28 bukanlah suatu persamaan yang penting, tetapi hanyalah merupakan deret Fourier dari f (x) , dan fakta bahwa setiap fungsi dapat diekspansi dengan cara seperti ini yang kadang kala disebut dengan “teorema Dirichlet”[8]. Koefisien ekspansi (c_{n} ) dapat ditaksir dengan metode yang dinamakan dengan “Trik Fourier”, yang menggunakan sifat ortonormalitas \psi_{n} : Kalikan kedua sisi pada persamaan 2.28 dengan \psi_{n}^{\ast} \left ( x \right ) dan kemudian integralkan

(2.29)

\int \psi_{m}^{\ast} \left ( x \right ) f \left ( x \right ) dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi_{m}^{\ast} \left ( x \right ) \psi_{n} \left ( x \right ) dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \delta_{mn} = c_{m}

(Ingat, bagaimana delta kronecker menghilangkan setiap bentuk rumusan di dalam tanda sum kecuali pada saat m=n ) Di mana koefisien ekspansi ke-m untuk f (x) diberikan oleh

(2.30)

c_{m} = \int \psi_{m}^{\ast} \left ( x \right ) f \left ( x \right ) dx

Ke empat sifat tersebut sangat melekat pada kasus sumur potensial tak berhingga. Sifat pertama benar karena memang potensial adalah fungsi genap, sifat yang kedua adalah sifat yang universal walaupun dengan mengabaikan bentuk potensial[9], Ortogonalitas adalah sifat yang umum, kita akan membuktikannya nanati pada BAB 3, kekomplitan memegang semua potensial yang kita hadapi dalam permasalahan mekanika kuantum, tetapi pembuktiannya cenderung sulit dan buruk, kebanyakan fisikawan membuktikannya dengan mudah mengasumsikan kekomplitan dan berharap yang terbaik.

Keadaan stasioner (persamaan 2.6) untuk sumur potensial tak berhingga dengan jelas menjadi

(2.31)

\Psi_{n} \left ( x,t \right ) = \sqrt{\frac{2}{a}} sin \left ( \frac{n \pi}{a} x \right ) e^{-i \left ( n^{2} \pi^{2} \hbar / 2 ma^{2} \right ) t}

Dan, biasanya, kebanyakan solusi umum dari persamaan Shroedinger (Tak bergantung waktu) adalah kombinasi liner dari keadaan stasioner (berdasarkan persamaan 2.14)

(2.32)

\Psi \left ( x,t \right ) = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{2}{a}} sin \left ( \frac{n \pi}{a} x \right ) e^{-i \left ( n^{2} \pi^{2} \hbar / 2 ma^{2} \right ) t}

Jika kamu meragukan pernyataan di atas, mari kita buktikan bersama. Coba kita hitung persamaan Shroedinger mula-mula (\Psi \left ( x,0 \right ) ) dengan pendekatan koefisien c_{n} berdasarkan persamaan 2.32, kita dapatkan:

\Psi \left ( x,0 \right ) = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi_{n} \left ( x \right )

Kekomplitan dari \psi (dikonfirmasikan dengan teorema Dirichlet) menjamin bahwa kita dapat selalu mengekspresikan \Psi \left ( x,0 \right ) dengan cara seperti ini, dan sifat ortonormalitasnya mengijinkan kita untuk menggunakan trik Fourier untuk menghitung nilai koefisien yang sebenarnya

(2.33)

C_{n} = \sqrt{\frac{2}{a}} \int_{0}^{a} \left ( \frac{n \pi}{a} x \right ) \Psi \left ( x,0 \right )

Ini berarti: setelah diberikan fungsi gelombang mula-mula, \Psi \left ( x,0 \right ) , langkah pertama yang kita lakukan adalah menghitung koefisien ekspansi c_{n} menggunakan persamaan 2.33 dan kemudian memasukkan hasilnya ke dalam persamaan 2.32 untuk mendapatkan fungsi gelombang \Psi \left ( x,t \right ) . Dengan bersenjatakan fungsi gelombang, kita bisa menghitung semua variabel dinamik lain dengan menggunakan prosedur yang telah dijelaskan dalam BAB 1. Metode ini dapat diaplikasikan ke dalam semua model potensial, yang berbeda hanyalah fungsi $letex \psi $ dan persamaan energi yang diijinkan.


[6]Untuk membuat simetri ini lebih kelihatan, beberapa penulis memusatkan sumur potensial pada pusat koordinat (maka batasnya menjadi -a/2 hingga a/2 ). Fungsi genap adalah fungsi cos sedangkan fungsi ganjil adalah fungsi sin

[7]Pada kasus ini \psi adalah real, maka tanda * pada \psi_{m} tidak menjadi penting, tetapi karena untuk tujuan ke depan, maka tanda tersebut masih digunakan

[8]Untuk lebih jelasnya lihatlah contoh soal Mary L. Boas, “Mathematical Methods in The Physical Science, 2nd ed”, New York: John Wiley and Sons, 1983, halaman: 313.

[9]Untuk lebih jelasnya lihatlah contoh soal John Powell dan Bern Crasemann, Quantum Mechanics, Reading MA: Addison-Wesley, 1961, halaman 126

About these ads

About Dedy Kurniawan Setyoko

saya adalah lulusan fisika universitas airlangga, karena saya adalah seorang fisikawan, tentunya saya sangat menyukai dunia fisika. Dalam blog ini saya akan mengutarakan semua ide-ide saya. View all posts by Dedy Kurniawan Setyoko

20 responses to “Sumur Potensial Tak Berhingga (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 2)

  • galih setyawan

    kebeneran banget nie..ane lagi butuh penjelasan..btw tambahin yang osilator harmonik ama kopling LS sekalian dong..mtur nuwun nggih.

  • Fendy Alvian Fanani

    maz aq mw tanya…
    aq kan mau buat skripsi dan judulnya seperti artikel maz itu, judulnya “SIMULASI SISTEM GERAK PARTIKEL DIDALAM
    SUMUR POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN VISUAL BASIC” . aku minta pendapat anda maz…
    kalau ada waktu tolong balas di email saya ya maz…
    Thank Before….
    Salam Physics..

    • Dedy Kurniawan Setyoko

      Assalamualaikum wr. wb.

      sebelumnya maaf mas putra, saya baru bisa balas komentarnya.

      Kalau ada yang bisa saya bantu pasti akan saya bantu mas, kira-kira deskripsi skripsi mas putra gimana ni?
      biar saya juga mengerti,

      terimakasih

  • Dedy Kurniawan Setyoko

    Begini mas putra.

    Sebenarnya semua model fisika, bahkan model apapun bisa koq disimulasikan dengan menggunakan bantuan komputer melalui bahasa pemrogaman.

    Nah sebelum melakukan simulasi ada syarat-syarat yang harus dipenuhi:
    (1) kita harus benar-benar mengetahui dan memahami model yang akan kita buat,
    (2) kita juga harus mengerti bahasa pemrogaman yang akan kita gunakan, dalam hal ini mas putra menggunakan bahasa VB. benar kan?

    apakah mas putra sudah memenuhi kedua syarat tersebut?

  • arfi

    kenapa diluar sumur x=a dan x=0? bukan x>a dan x=a dan x<=0??
    maaf saya kurang faham,,sy br mulai belajar..
    trm kasih

  • Potensial Fungsi Delta (Persamaan Shroedinger Tidak Bergantung Waktu Bagian 5) « http://kurniafisika.wordpress.com

    […] dua jenis solusi Persamaan Shroedinger-tidak bergantung waktu yang sangat berbeda: Untuk sumur potensial tak berhingga dan osilator harmonik memiliki solusi yang ternormalisasi, dan ditandai dengan indeks diskret n, […]

  • yaman

    mas pernah buat program schrodinger dengan program mathematica 7?
    saya pengen share dengan mas sy lagi membuat programnya tpi ada bebrapa kendala.

    lalu menurut mas aplikasi dari hasil gelombang dari persamaan schrodinger tu bisa digunakan dimana dalam kehidupan sehari?

    saya pengen share byk mas coz sy sedang buat skripsi tentang Analisis dan visualisasi per.schrodinger pada partikel bebas dan partikel dalam sumur potensial tak hingga tidak tergantung waktu menggunakan program mathematika 7.

    kalo mas da saran bisa kirim ke email sy (yaman_hulu@yahoo.co.id)
    tq ya mas.

    • Dedy Kurniawan Setyoko

      Senang rasanya ada yang membaca blog saya dan terimakasih telah sempat membaca dan belajar dari artikel-artikel dalam blog kurniafisika.wordpress.com. Sebelumnya salam kenal dengan mas Yaman semoga kita bisa saling bertukar ilmu.

      Skripsi yang telah saya kerjakan dulu sewaktu saya S1 di bidang komputasi, yaitu mensimulasikan perambatan foton (cahaya) dalam jaringan tubuh menggunakan metode monte carlo. Saya menggunakan pemrograman c++ untuk mensimulasikannya. Sejauh ini saya belum pernah membuat program Persamaan Schroedinger, namun sedikit banyak saya tahu mengenai mathematica. Pasti kalau kita ada semangat, program tersebut pasti bisa terlaksana.

      Menurut saya, aplikasi Persamaan Schroedinger dalam kehidupan sehari-hari susah untuk kita lihat, karena persamaan ini ada pada level kuantum, yaitu level atomik dalam skala mikroskopik. Sehingga aplikasinya hanya dapat kita lihat dalam laboratorium.

      salam.

  • yaman

    mas saya mau tanya lagi,apa perbedaan antara persamaan schrodinger pada partikel bebas dengan persamaan schrodinger dalam sumur potensial,,,kan partikel yang kita tinjau dalam sumur potensial kan partikel bebas juga??tapi kok masih dibedakan?/

    pada da bedanya ya mas.???

    tq ya mas dah sharing….

    • Dedy Kurniawan Setyoko

      Sebenarnya apa yang kita pelajari semuanya sama yaitu partikel (yang bisa jadi berperilaku sebagai foton karena adanya dualisme gelombang partikel). Perbedaan paling mendasar terletak pada batasan potensial yang membatasi gerak partikel tersebut. Sehingga distribusi partikel untuk potensial yang berbeda, misalnya pada sumur potensial tak berhingga, pada partikel bebas (pada kasus ini tidak ada potensial yang mempengaruhi gerak partikel), juga akan berbeda. Pada akhirnya ini akan berpengaruh pada solusi persamaan Scroedinger, yang menghasilkan persamaan gelombang yang berbeda pula.

    • Dedy Kurniawan Setyoko

      kalau masih bingung, tanya saja enggak apa…enggak usah sungkan. di sini kita share ilmu kok….

  • yaman hulu

    Tpi gini mas kalo pada sumur potensial kita bisa mencari probabilitas gelombangnya dengan melakukan normalisasi pada persamaan
    A sin kL = 1 atau A sin ka = 1 sehingga nilai A dapat kita cari.dan fungsi gelombang bisa kita selesaikan

    tapi bagaimana pada partikel bebas bagaimana menentukan nilai A dan B dari persamaan
    Psi (x) = A sin kx + B cos kx karna nilai integral normalisasi nya tdk dpt dihitung dari negatif tak hingga sampai positif tak hingga..
    bagaimana membentuk gelombangnya??
    (tp persamaannya tidak tergtantung waktu)

    kalo boleh bagaimana menurunkannya sampai kita bisa mengetahui fungsi gelombangnya..atau mungkin ada cara lain..

    karna aku mau buat visualisasi gelombangnya mas…
    tq mas

    sorry kalo pertanyaan ku kurang jelas krn bingung kek mana membahasakannya..

    alamat email ku yaman_hulu@yahoo.co.id

  • doni

    minta penjelasannya juga donk mas untuk sumur potensial berhingga. Makasih

  • yoseph

    hai mas.. mau tanya solusinya gimana ya, bilamana E < V ????

    tolong bisa jelasin dengan mudah ya… :)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: